AULA 4 - ÁLGEBRA LINEAR __ OPERAÇÕES COM VETORES _ cont

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ÁLGEBRA LINEAR 
Aula 4 – Operações com vetores (continuação) 
 
Prof. Me. André G. Antas 
• Distância entre vetores 
• Ângulo entre vetores 
• Produto vetorial 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
OPERAÇÕES COM VETORES 
DISTÂNCIA ENTRE VETORES 
 A distância entre os vetores u = (a₁, a₂, ..., an) e v = (b₁, b₂, ..., bn) 
de Rⁿ é definida por 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
DISTÂNCIA ENTRE VETORES 
Exercício 5 
 Calcule a distância entre os vetores u = (1, –2, 3) e v = (2, 4, 5). 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
DISTÂNCIA ENTRE VETORES 
Solução: u = (1, –2, 3) e v = (2, 4, 5). 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
ÂNGULO ENTRE VETORES 
 O ângulo entre dois vetores não nulos u e v de Rⁿ é definido por 
OPERAÇÕES COM VETORES 
ÂNGULO ENTRE VETORES 
Exercício 6 
Calcule o ângulo entre os vetores u = (1, –2, 3) e v = (2, 4, 5). 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
ÂNGULO ENTRE VETORES 
Solução: u = (1, –2, 3) e v = (2, 4, 5) 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
ÂNGULO ENTRE VETORES 
Solução: u = (1, –2, 3) e v = (2, 4, 5) 
 
Para encontrar cos, onde  é o ângulo entre u e v, determinamos: 
 u.v = 2 – 8 + 15 = 9 
 u² = 1 + 4 + 9 = 14  u = 14 
 v² = 4 + 16 + 25 = 45  v = 45 
 
   = arc cos 
OPERAÇÕES COM VETORES 
PRODUTO VETORIAL 
 Sejam u = (ux,uy,uz) e v = (vx,vy,vz) dois vetores do espaço 
tridimensional, denominados produto vetorial de u por v, e 
indicamos por u x v (leia-se “u vetorial v”), o vetor obtido ao 
desenvolvermos o determinante simbólico indicado a seguir: 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
PRODUTO VETORIAL 
 
 
 
 
 
 É importante notar que ao formar o determinante indicamos: 
na primeira linha os vetores i, j e k (versores dos eixos 
coordenados), na segunda linha as componentes do vetor u e na 
terceira linha as componentes do vetor v. ​ 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
PRODUTO VETORIAL 
Exercício 1: 
 Sendo u=(2,2,0) e v=(0,1,1), calcule u x v. 
OPERAÇÕES COM VETORES 
PRODUTO VETORIAL 
Solução 
OPERAÇÕES COM VETORES 
PRODUTO VETORIAL 
Solução 
OPERAÇÕES COM VETORES 
PRODUTO VETORIAL 
Solução 
++ 
OPERAÇÕES COM VETORES 
PRODUTO VETORIAL 
Solução 
++ 
-- 
OPERAÇÕES COM VETORES 
PRODUTO VETORIAL 
Exercício 2 
 Sendo u=(-2,0,1) e v=(4,2,5), determine o produto vetorial u x v. 
 
++ 
-- 
u x v = (i.0.5) + (j.1.4) + (k.-2.2) + (k.0.4) - (i.1.2) - (j.-2.5) 
u x v = 0i + 4j - 4k + 0k - 2i + 10j 
u x v = - 2i + 14j - 4k 
u x v = (-2, 14, -4) 
OPERAÇÕES COM VETORES 
EXEMPLO DE APLIAÇÃO 
 
Games https://www.youtube.com/watch?v=ajtVU35hw_4 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ajtVU35hw_4
https://www.youtube.com/watch?v=ajtVU35hw_4
OPERAÇÕES COM VETORES 
Exercícios 
1) Calcular o produto vetorial: 
a) u = (1, 1, 3) e v = (-2, 3, 5) Resposta: (-4, -11, +5) 
b) u = (2, 2, 0) e v = (0, 1, 1) Resposta: (2, -2, 2) 
c) u =(0, -7, 3) e v = (1, 8, 5) Resposta: (-59, 3, 7) 
d) u = (-2, 0, 1) e v = (4, 2, 5) Resposta: (-2, 14, -4) 
e) u = (1, 2, -2) e v = (3, 0, 1) Resposta: (2, -7, -6) 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
Exercícios 
2) Calcular o módulo do produto vetorial do exercício anterior. 
a) (-4, -11, +5) Resposta:  162 
b) (2, -2, 2) Resposta:  12 
c) (-59, 3, 7) Resposta:  3539 
d) (-2, 14, -4) Resposta:  216 
e) (2, -7, -6) Resposta:  89