Para encontrar a derivada de \( z \) em relação a \( t \), precisamos aplicar a regra da cadeia, já que \( z \) é uma função de \( x \) e \( y \), que por sua vez são funções de \( t \). A função dada é: \[ z = x^3 - 4x^2y + xy^2 - y^3 + 1 \] Para calcular \( \frac{dz}{dt} \), usamos a regra da cadeia: \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} \] Primeiro, calculamos as derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 8xy + y^2 \) 2. \( \frac{\partial z}{\partial y} = -4x^2 + 2xy - 3y^2 \) Agora, substituímos \( x = \sin(t) \) e \( y = \cos(t) \): - \( \frac{dx}{dt} = \cos(t) \) - \( \frac{dy}{dt} = -\sin(t) \) Substituindo tudo na fórmula da derivada: \[ \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \cdot \cos(t) + (-4x^2 + 2xy - 3y^2) \cdot (-\sin(t)) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \cos(t) + (4x^2 - 2xy + 3y^2) \sin(t) \) - Esta opção parece correta, mas o sinal do segundo termo não está correto. B) \( \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \sin(t) + (4x^2 - 2xy + 3y^2) \sin(t) \) - Não está correta, pois não usa \( \cos(t) \) corretamente. C) \( \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \cos(t) + (4x^2 - 2xy + 3y^2) \cos(t) \) - Não está correta, pois o segundo termo não deve ser \( \cos(t) \). D) \( \frac{dz}{dt} = (-8xy + y^2) \cos(t) + (4x^2 - 2xy) \sin(t) \) - Não está correta, pois não usa as derivadas parciais corretamente. E) \( \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \cos(t) \) - Esta opção está incompleta, pois não considera a parte que envolve \( y \). Portanto, a alternativa correta é a A.