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Geometria Analítica

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Em matemática, mais especificamente em álgebra linear, o núcleo (ou espaço nulo) de uma transformação linear L: V → W entre dois espaços vetoriais V e W, é o conjunto de todos os elementos v de V para os quais L(v) = 0, em que 0 denota o vetor nulo de W.
Assinale qual o núcleo dessa transformação:
O núcleo é representado pelo ponto (0,0)
O núcleo é representado pela curva y = x²
O núcleo é representado pelo plano x - y + z = 0
O núcleo é representado por uma reta de equação y = x
O núcleo é representado por uma reta de equação y = x + 1
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Unicesumar - Ensino a Distância - ATIVIDADE 2 - EPROD - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53_2025
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Para determinar o núcleo de uma transformação linear \( L: V \to W \), precisamos identificar todos os vetores \( v \) em \( V \) que satisfazem \( L(v) = 0 \). Das opções apresentadas, o núcleo de uma transformação linear geralmente é um subespaço vetorial. Vamos analisar cada uma: 1. O núcleo é representado pelo ponto (0,0): Isso é um subespaço (o vetor nulo), então pode ser um núcleo. 2. O núcleo é representado pela curva \( y = x^2 \): Isso não é um subespaço, pois não é fechado sob adição e multiplicação por escalar. 3. O núcleo é representado pelo plano \( x - y + z = 0 \): Isso é um subespaço, então pode ser um núcleo. 4. O núcleo é representado por uma reta de equação \( y = x \): Isso é um subespaço, então pode ser um núcleo. 5. O núcleo é representado por uma reta de equação \( y = x + 1 \): Isso não é um subespaço, pois não passa pela origem. Portanto, as opções que podem representar o núcleo são: (0,0), o plano \( x - y + z = 0 \) e a reta \( y = x \).

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Na matemática, a parametrização refere-se ao processo de descrever uma curva, uma superfície ou um objeto matemático em termos de parâmetros. Em vez de utilizar equações cartesianas tradicionais, que expressam as coordenadas em relação aos eixos cartesianos, a parametrização envolve expressar as coordenadas como funções de um ou mais parâmetros independentes.
Assinale a alternativa da equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P e tem como vetor diretor aquele descrito anteriormente:
(x,y,z) = (2t,-2t,t)
(x,y,z) = (1 + t,2 - t,-3 + t)
(x,y,z) = (1 + 2t,2 - 2t,-3 + t)
(x,y,z) = (2 + t,-2 + 2t,1 - 3t)
(x,y,z) = (1 + 2t,2 - 2t,-3 + 2t)

Uma circunferência é uma forma geométrica plana que consiste em todos os pontos de um plano que estão a uma distância fixa e igual de um ponto central chamado de centro. Essa distância é chamada de raio da circunferência.
Sobre a circunferência dada pela equação (x - 1)² + (y + 3)² = 9, analise as afirmativas a seguir:
I. O centro da circunferência é (1,3).
II. O raio da circunferência é 3.
III. Quando x = 1, y = 0 ou y = - 6.
I, apenas.
II, apenas.
III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.

As transformações lineares são abordadas em vários momentos na engenharia, seja em circuitos elétricos básicos, seja em aplicações em sistemas massa-mola, entre outros.
Conhecendo a transformação abaixo: T(x,y,z) = (2x - y + z, -x + 3y - z, x + y - 2z). A imagem dessa transformação linear será:
Im = R
Im = {x(2,-1,1); x ? R}
Im = {x(2,-1,1) + y(-1,3,1) + z(1,-1,-2); x,y e z ? R}
Im = {x(2,-1,1) + y(2,-1,1) + z(2,-1,1); x,y e z ? R}
Im = {x(2,1,1) + y(1,3,1) + z(1,1,2); x,y e z ? R}

A equação 4x² - 9y² - 8x - 18y - 41 = 0 representa:
Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Uma hipérbole de equação (x + 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Uma elipse de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Uma elipse de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1

Em matemática, o produto interno, também conhecido como produto escalar, é uma operação definida para vetores em um espaço vetorial. O produto interno é uma forma de multiplicação que associa dois vetores a um número escalar. Essa operação é denotada por um ponto (·) ou um par de parênteses angulares (< >) entre os vetores.
Considere os vetores a seguir: u = (1,-1,5) v = (3,3,1). Determine o produto interno entre eles e assinale a alternativa correta:
3.
4.
5.
6.
10.

Considere as retas “a” e “b”: A reta “a” passa pelos pontos (1,2) e (2,4). A reta “b” passa pelo ponto (2,2).
Com base nisso, determine a equação da reta “b”, de forma que ela seja perpendicular à reta “a”:
y = x + 3
y = 3x + 3
y = 3x - 0,5
y = -0,5x + 3
y = -0,5x + 0,5

Nós, engenheiros(as), devemos saber como realizar procedimentos de parametrização, pois isso facilita vários dos cálculos que envolvem coordenadas espaciais.
Qual a equação da reta que passa pelo ponto P e tem como vetor diretor aquele descrito acima?
(x,y,z) = (t + 1,2t - 3,3t - 5)
(x,y,z) = (t + 1,2t + 3,3t + 5)
(x,y,z) = (t + 1,t - 3,t - 5)
(x,y,z) = (t - 1,2t - 3,t - 5)
(x,y,z) = (t - 1,2t - 2,3t - 3)

Considere um barracão no qual existem três equipamentos: X, Y e Z. A posição do equipamento X corresponde a (3,4), a posição do equipamento Y corresponde a (6,8) e a posição do equipamento Z corresponde a (10,10).
Sabendo disso, analise as afirmativas a seguir:
I. A distância entre X e Y é maior do que 4.
II. A distância entre Y e Z é menor do que 5.
III. A distância entre X e Z é maior do que a soma das distâncias calculadas em I e II.
I, apenas.
II, apenas.
III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.

Os três procedimentos de multiplicação existentes para os vetores são: produto interno, produto vetorial e produto misto. Considere os vetores abaixo: u = (1,2,3) v = (3,2,1)
Qual o produto interno entre eles?
(3,4,3)
10
12
6
(1,2,3)

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