Questão: Qual é a derivada da função f(x) = e^(2x)ln(x)? a) 2e^(2x)ln(x) b) 2e^(2x) + 1/x c) 2e^(2x) + ln(x)/x d) 2e^(2x)ln(x) + e^(2x)/x

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \ln(x) \), precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^{2x} \) e \( v(x) = \ln(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 2e^{2x} \) (usando a regra da cadeia) - \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2e^{2x}) \ln(x) + (e^{2x}) \left(\frac{1}{x}\right) \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 2e^{2x} \ln(x) + \frac{e^{2x}}{x} \] Analisando as alternativas: a) \( 2e^{2x} \ln(x) \) - Incorreta, falta o segundo termo. b) \( 2e^{2x} + \frac{1}{x} \) - Incorreta, não corresponde à derivada. c) \( 2e^{2x} + \frac{\ln(x)}{x} \) - Incorreta, não corresponde à derivada. d) \( 2e^{2x} \ln(x) + \frac{e^{2x}}{x} \) - Correta, corresponde à derivada encontrada. Portanto, a alternativa correta é: d) \( 2e^{2x} \ln(x) + \frac{e^{2x}}{x} \).