b) Calcule o valor de m para que as retas sejam ortogonais: x=-2t R1: y= 4+mt z= 1+t x= 3+t R2: y= -1-2t z= 2t

Para que as retas R1 e R2 sejam ortogonais, o produto escalar de seus vetores diretores deve ser igual a zero. Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas: Para a reta R1: - \( x = -2t \) implica que \( dx/dt = -2 \) - \( y = 4 + mt \) implica que \( dy/dt = m \) - \( z = 1 + t \) implica que \( dz/dt = 1 \) Portanto, o vetor diretor de R1 é \( \mathbf{v_1} = (-2, m, 1) \). Para a reta R2: - \( x = 3 + t \) implica que \( dx/dt = 1 \) - \( y = -1 - 2t \) implica que \( dy/dt = -2 \) - \( z = 2t \) implica que \( dz/dt = 2 \) Portanto, o vetor diretor de R2 é \( \mathbf{v_2} = (1, -2, 2) \). Agora, calculamos o produto escalar \( \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} \): \[ \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} = (-2)(1) + (m)(-2) + (1)(2) = -2 - 2m + 2 \] Simplificando, temos: \[ 0 - 2m = -2m \] Para que as retas sejam ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero: \[ -2m = 0 \] Portanto, \( m = 0 \). Assim, o valor de \( m \) para que as retas sejam ortogonais é \( m = 0 \).