Calcule o valor de m para que as retas sejam ortogonais: r_1: x = - 2t y = 4 + mt z = 1 + t r_2: x = 3 + t y = - 1 – 2t z = 2t

Para que as retas \( r_1 \) e \( r_2 \) sejam ortogonais, o produto escalar de seus vetores diretores deve ser igual a zero. As retas são dadas por: - \( r_1: x = -2t, y = 4 + mt, z = 1 + t \) - \( r_2: x = 3 + t, y = -1 - 2t, z = 2t \) Os vetores diretores são: - Para \( r_1 \): \( \vec{v_1} = (-2, m, 1) \) - Para \( r_2 \): \( \vec{v_2} = (1, -2, 2) \) O produto escalar \( \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} \) é dado por: \[ \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-2)(1) + (m)(-2) + (1)(2) \] Simplificando: \[ -2 - 2m + 2 = 0 \] Isso se reduz a: \[ -2m = 0 \] Portanto, \( m = 0 \). Assim, o valor de \( m \) para que as retas sejam ortogonais é \( m = 0 \).