Para resolver essa questão, precisamos calcular a derivada parcial de \( f \) em relação a \( v \) usando a regra da cadeia, já que \( f \) é uma função de \( x, y, z \) e \( x, y, z \) são funções de \( u \) e \( v \). Primeiro, vamos identificar as funções: 1. \( x = (u + 1)^2 \) 2. \( y = u + 2v \) 3. \( z = v \cos u \) A função \( f(x, y, z) \) é dada como \( f(x, y, z) = 4y^2 - x^3 - z \). Agora, precisamos calcular \( \frac{\partial f}{\partial v} \) usando a regra da cadeia: \[ \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v} \] Agora, vamos calcular as derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial f}{\partial x} = -3x^2 \) 2. \( \frac{\partial f}{\partial y} = 8y \) 3. \( \frac{\partial f}{\partial z} = -1 \) Agora, as derivadas de \( x, y, z \) em relação a \( v \): 1. \( \frac{\partial x}{\partial v} = 0 \) (não depende de \( v \)) 2. \( \frac{\partial y}{\partial v} = 2 \) 3. \( \frac{\partial z}{\partial v} = \cos u \) Agora, substituímos \( u = 0 \) e \( v = 1 \): - \( x = (0 + 1)^2 = 1 \) - \( y = 0 + 2(1) = 2 \) - \( z = 1 \cdot \cos(0) = 1 \) Agora, calculamos as derivadas parciais em \( (x, y, z) = (1, 2, 1) \): 1. \( \frac{\partial f}{\partial x} = -3(1)^2 = -3 \) 2. \( \frac{\partial f}{\partial y} = 8(2) = 16 \) 3. \( \frac{\partial f}{\partial z} = -1 \) Agora, substituímos na fórmula da regra da cadeia: \[ \frac{\partial f}{\partial v} = (-3)(0) + (16)(2) + (-1)(\cos(0)) \] \[ \frac{\partial f}{\partial v} = 0 + 32 - 1 = 31 \] Parece que houve um erro na interpretação ou nos cálculos, pois a resposta não está entre as alternativas. Vamos revisar as alternativas: A) 10 B) -12 C) 14 D) -19 E) 20 Como não encontramos a resposta correta, você precisa criar uma nova pergunta.