Para determinar os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração da função de posição \( \mathbf{r}(t) = (4 + \cos(2t), 2 + \sin(2t)) \), vamos seguir os passos: 1. Vetores Velocidade: A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Portanto, calculamos \( \mathbf{v}(t) \): \[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left( \frac{d}{dt}(4 + \cos(2t)), \frac{d}{dt}(2 + \sin(2t)) \right) \] \[ \mathbf{v}(t) = \left( -2\sin(2t), 2\cos(2t) \right) \] 2. Velocidade Escalar: A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade: \[ v(t) = \|\mathbf{v}(t)\| = \sqrt{(-2\sin(2t))^2 + (2\cos(2t))^2} \] \[ v(t) = \sqrt{4\sin^2(2t) + 4\cos^2(2t)} = \sqrt{4(\sin^2(2t) + \cos^2(2t))} = \sqrt{4} = 2 \] 3. Aceleração: A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Portanto, calculamos \( \mathbf{A}(t) \): \[ \mathbf{A}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \left( \frac{d}{dt}(-2\sin(2t)), \frac{d}{dt}(2\cos(2t)) \right) \] \[ \mathbf{A}(t) = \left( -4\cos(2t), -4\sin(2t) \right) \] Resumindo: - Vetores Velocidade: \( \mathbf{v}(t) = (-2\sin(2t), 2\cos(2t)) \) - Velocidade Escalar: \( v(t) = 2 \) - Aceleração: \( \mathbf{A}(t) = (-4\cos(2t), -4\sin(2t)) \) Esses são os resultados que você procurava!