Vamos resolver o problema passo a passo. Vamos chamar a quantidade de bolas de gude que João tem de \( J \) e a quantidade que José tem de \( Z \). 1. Primeira condição: João diz que se José lhe der \( \frac{1}{5} \) de suas bolas, ele ficará com uma quantidade igual ao dobro do que restará para José. Se José der \( \frac{1}{5}Z \) para João, então: - João ficará com \( J + \frac{1}{5}Z \) - José ficará com \( Z - \frac{1}{5}Z = \frac{4}{5}Z \) A condição é: \[ J + \frac{1}{5}Z = 2 \left( \frac{4}{5}Z \right) \] Simplificando: \[ J + \frac{1}{5}Z = \frac{8}{5}Z \] \[ J = \frac{8}{5}Z - \frac{1}{5}Z \] \[ J = \frac{7}{5}Z \quad \text{(1)} \] 2. Segunda condição: Se João der 6 bolas para José, eles ficarão com a mesma quantidade. Se João der 6 bolas, então: - João ficará com \( J - 6 \) - José ficará com \( Z + 6 \) A condição é: \[ J - 6 = Z + 6 \] Simplificando: \[ J - Z = 12 \quad \text{(2)} \] Agora, temos um sistema de duas equações: 1. \( J = \frac{7}{5}Z \) 2. \( J - Z = 12 \) Substituindo a equação (1) na equação (2): \[ \frac{7}{5}Z - Z = 12 \] \[ \frac{7}{5}Z - \frac{5}{5}Z = 12 \] \[ \frac{2}{5}Z = 12 \] Multiplicando ambos os lados por 5: \[ 2Z = 60 \] \[ Z = 30 \] Agora, substituindo \( Z \) na equação (1) para encontrar \( J \): \[ J = \frac{7}{5} \times 30 = 42 \] Portanto, João tem 42 bolas e José tem 30 bolas. A resposta correta é: b) 42 e 30.