Para resolver essa questão, precisamos entender o conceito de rotacional e como ele se relaciona com o teorema de Stokes. O teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao rotacional desse campo sobre uma superfície. No entanto, a questão pede especificamente a área da superfície S dada pela equação \(x + y + z = 1\). Para encontrar a área dessa superfície, precisamos reescrever a equação em uma forma que nos permita calcular a área. A superfície \(x + y + z = 1\) é um plano no espaço tridimensional. Para calcular a área de um triângulo formado por essa superfície e os eixos coordenados, podemos encontrar os pontos de interseção com os eixos: - Quando \(y = 0\) e \(z = 0\), temos \(x = 1\) (ponto (1,0,0)). - Quando \(x = 0\) e \(z = 0\), temos \(y = 1\) (ponto (0,1,0)). - Quando \(x = 0\) e \(y = 0\), temos \(z = 1\) (ponto (0,0,1)). Esses três pontos formam um triângulo no plano \(x + y + z = 1\). A área de um triângulo no espaço pode ser calculada usando a fórmula: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \] Neste caso, a base e a altura do triângulo são iguais a 1 (a distância entre os pontos nos eixos). Portanto, a área do triângulo é: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \] No entanto, a questão parece estar pedindo a área da superfície projetada em um plano, que pode ser diferente. Para a superfície \(x + y + z = 1\), a área total é na verdade \( \frac{3}{2} \) vezes a área do triângulo, resultando em \( \frac{3}{2} \). Assim, a resposta correta, considerando as opções dadas, é: A) \( \frac{3\pi}{2} \).