Para resolver a integral do campo vetorial \( F(x,y) = (y, -x) \) sob a curva \( C \) que corresponde ao círculo \( x^2 + y^2 = 4 \) (que parece ser o que você quis dizer, já que a equação \( x + y = 4 \) não representa um círculo), podemos usar o Teorema de Green. O Teorema de Green relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula é: \[ \oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \] onde \( F(x,y) = (P, Q) = (y, -x) \). Calculando as derivadas parciais: - \( P = y \) então \( \frac{\partial P}{\partial y} = 1 \) - \( Q = -x \) então \( \frac{\partial Q}{\partial x} = -1 \) Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - 1 = -2 \] Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região \( R \) que é o círculo de raio 2 (já que \( x^2 + y^2 = 4 \)). A área do círculo é: \[ A = \pi r^2 = \pi (2^2) = 4\pi \] Portanto, a integral dupla se torna: \[ \iint_R -2 \, dA = -2 \cdot A = -2 \cdot 4\pi = -8\pi \] Porém, precisamos considerar que a curva \( C \) é a circunferência de raio 2, e a integral de linha deve ser multiplicada pelo fator de 2π, resultando em: \[ \oint_C F \cdot dr = -8\pi \] Entretanto, como a curva é orientada positivamente, a integral do campo vetorial \( F \) sob a curva \( C \) é: \[ \oint_C F \cdot dr = -8\pi \] Nenhuma das alternativas corresponde a esse resultado. Parece que houve um erro na interpretação da curva ou na formulação da questão. Por favor, verifique se a curva está correta ou se há mais informações que possam ajudar a esclarecer a questão.