Para determinar o polinômio interpolador de grau 3 que passa pelos pontos dados na tabela, precisamos usar os valores de \( f(x) \) correspondentes a cada \( x \). Os pontos são: - \( (0, 1) \) - \( (1, 2) \) - \( (2, 15) \) - \( (3, 52) \) Vamos analisar as alternativas dadas: A) \( f(x) = x^3 + x^2 + 1 \) B) \( f(x) = 40 \) (não é um polinômio de grau 3) C) \( f(x) = x^3 + x - 70 \) D) \( f(x) = 2x^3 - x + 1 \) Agora, precisamos verificar qual dessas alternativas se ajusta aos pontos dados. 1. Para \( x = 0 \): - A: \( f(0) = 0^3 + 0^2 + 1 = 1 \) (certo) - B: \( f(0) = 40 \) (errado) - C: \( f(0) = 0^3 + 0 - 70 = -70 \) (errado) - D: \( f(0) = 2(0^3) - 0 + 1 = 1 \) (certo) 2. Para \( x = 1 \): - A: \( f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 = 3 \) (errado) - B: \( f(1) = 40 \) (errado) - C: \( f(1) = 1^3 + 1 - 70 = -68 \) (errado) - D: \( f(1) = 2(1^3) - 1 + 1 = 2 \) (certo) 3. Para \( x = 2 \): - A: \( f(2) = 2^3 + 2^2 + 1 = 13 \) (errado) - B: \( f(2) = 40 \) (errado) - C: \( f(2) = 2^3 + 2 - 70 = -62 \) (errado) - D: \( f(2) = 2(2^3) - 2 + 1 = 15 \) (certo) 4. Para \( x = 3 \): - A: \( f(3) = 3^3 + 3^2 + 1 = 37 \) (errado) - B: \( f(3) = 40 \) (errado) - C: \( f(3) = 3^3 + 3 - 70 = -58 \) (errado) - D: \( f(3) = 2(3^3) - 3 + 1 = 52 \) (certo) A única alternativa que se ajusta a todos os pontos dados é a D) \( f(x) = 2x^3 - x + 1 \). Portanto, a resposta correta é: D) f(x) = 2x³ - x + 1.