Para provar que a soma das diagonais de um polígono convexo de \( n \) lados é dada por \( S(n) = \frac{n(n - 3)}{2} \) por indução, siga os passos abaixo: Base da indução: Para \( n = 3 \) (um triângulo), não há diagonais. Portanto, \( S(3) = 0 \) e \( \frac{3(3 - 3)}{2} = 0 \). A base da indução está correta. Hipótese de indução: Suponha que a fórmula é verdadeira para um polígono de \( n \) lados, ou seja, \( S(n) = \frac{n(n - 3)}{2} \). Passo da indução: Agora, vamos provar que a fórmula é verdadeira para \( n + 1 \) lados. Um polígono de \( n + 1 \) lados pode ser obtido adicionando um vértice a um polígono de \( n \) lados. Um polígono de \( n + 1 \) lados tem \( n + 1 \) vértices. O número total de diagonais é dado por: \[ S(n + 1) = S(n) + (n - 1) \] onde \( (n - 1) \) é o número de novas diagonais que podem ser formadas a partir do novo vértice. Substituindo a hipótese de indução: \[ S(n + 1) = \frac{n(n - 3)}{2} + (n - 1) \] Agora, simplificando: \[ S(n + 1) = \frac{n(n - 3) + 2(n - 1)}{2} \] \[ = \frac{n^2 - 3n + 2n - 2}{2} \] \[ = \frac{n^2 - n - 2}{2} \] \[ = \frac{(n + 1)(n - 2)}{2} \] Assim, temos que: \[ S(n + 1) = \frac{(n + 1)((n + 1) - 3)}{2} \] Portanto, a fórmula é verdadeira para \( n + 1 \). Conclusão: Por indução, a fórmula \( S(n) = \frac{n(n - 3)}{2} \) é verdadeira para todo \( n \geq 3 \).