mostre por indução como calcular o numero de diagonais de um polígono convexo

Para calcular o número de diagonais de um polígono convexo, podemos usar o princípio da indução matemática. Vamos mostrar isso passo a passo. 1. Base da indução: Para um triângulo (n = 3), não há diagonais. Portanto, D(3) = 0. A fórmula para o número de diagonais é D(n) = n(n - 3)/2. Para n = 3: \[ D(3) = \frac{3(3 - 3)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0 \] A base está correta. 2. Hipótese de indução: Suponha que a fórmula é verdadeira para um polígono com n vértices, ou seja, D(n) = n(n - 3)/2. 3. Passo da indução: Vamos provar que a fórmula é verdadeira para n + 1 vértices. Um polígono com n + 1 vértices pode ser obtido adicionando um novo vértice a um polígono com n vértices. O novo vértice pode ser conectado a n vértices existentes, formando n novas diagonais. Assim, o número total de diagonais para n + 1 vértices é: \[ D(n + 1) = D(n) + n \] Substituindo a hipótese de indução: \[ D(n + 1) = \frac{n(n - 3)}{2} + n \] Para simplificar: \[ D(n + 1) = \frac{n(n - 3) + 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n + 2n}{2} = \frac{n^2 - n}{2} = \frac{(n + 1)(n - 2)}{2} \] O que é exatamente a fórmula para D(n + 1). 4. Conclusão: Portanto, por indução matemática, a fórmula D(n) = n(n - 3)/2 é verdadeira para todo polígono convexo com n vértices. Assim, o número de diagonais de um polígono convexo é dado pela fórmula \( D(n) = \frac{n(n - 3)}{2} \).