POLIGONOS

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
POLÍGONOS 
Prof. Wellington Nishio 
POLÍGONOS 
Definição 
 
Os polígonos são figuras planas e fechadas 
constituídas por segmentos de reta. 
Os polígonos podem ser simples ou complexos. 
 
 
Elementos de um Polígono 
 
 
Lados: Cada um dos segmentos de reta que une os 
vértices consecutivos. 
Vértices: Ponto de encontro de dois lados 
consecutivos: A,B,C,D,E. 
Diagonais: Segmentos que une dois vértices não 
consecutivos. 
Ângulos internos: Ângulos formado por dois lados 
consecutivos. 
Ângulos externos: Ângulos formado por um lado e 
pelo prolongamento do lado a ele consecutivo. 
 
Classificação dos Polígonos 
convexos: uma reta qualquer só corta o polígono em 
dois pontos. 
não convexos: uma reta qualquer pode cortar o 
polígono em mais de dois pontos. 
regulares: os lados e os ângulos são iguais. 
irregulares: os lados e os ângulos são diferentes. 
 
OBS: Ângulos Internos e Ângulos Externos 
O ângulo interno e o externo relativos ao mesmo vértice 
são ângulos suplementares. 
 
 
Nomenclatura de Alguns Polígonos 
Dependendo do número de lados, um polígono recebe 
os seguintes nomes de acordo com a tabela: 
 
Propriedades dos Polígonos 
 
Total de diagonais de um polígono 
Num polígono de n lados podemos traçar de cada 
vértice n - 3 diagonais. 
Como temos n vértices poderemos traçar n.(n - 3) 
diagonais, porem desta maneira estamos contando 
cada diagonal 2 vezes, então o número total de 
diagonais é igual à metade deste valor. 
 
Daí, o número total de diagonais de um polígono é: 
 
 
Soma dos Ângulos Internos 
nº polígono nº polígono 
1 Não existe 11 Undecágono 
2 Não existe 12 Dodecágono 
3 Triângulo 13 Tridecágono 
4 Quadrilátero 14 Tetradecágono 
5 Pentágono 15 Pentadecágono 
6 Hexágono 16 Hexadecágono 
7 Heptágono 17 Heptadecágono 
8 Octógono 18 Octadecágono 
9 Eneágono 19 Enadecágono 
10 Decágono 20 Icoságono 
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A soma das medidas dos ângulos internos de um 
polígono de n lados (Si) é dado por: 
 
Soma dos Ângulos Externos 
A soma das medidas dos ângulos externos de um 
polígono de n lados (Se) é dado por: 
 
Polígonos Regulares 
Um polígono é regular quando possui ângulos com 
medidas iguais e lados com medidas iguais. 
 
 
Propriedades dos Polígonos Regulares 
 
Ângulo Interno: i
i
S 180º(n 2)
a
n n
−
=  
 
 
Ângulo Externo: e
e
S 360º
a
n n
=  
 
Se um polígono regular possuir uma quantidade par de 
n lados, então ele possui 
n
2
diagonais que passam pelo 
centro do polígono. 
Se um polígono regular possuir uma quantidade ímpar 
de n lados, então ele não possui diagonais que passam 
pelo centro do polígono. 
 
Observação: Todo polígono regular é inscritível e 
circunscritível 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Determine o valor de x na figura abaixo. 
 
a) 95º 
b) 100º 
c) 110º 
d) 140º 
 
2. Determine o valor de x na figura abaixo. 
 
a) 120º 
b) 100º 
c) 95º 
d) 90º 
 
3. Determinar a soma das medidas dos ângulos 
internos e o número de diagonais de um 
pentadecágono convexo. 
a) 2340º e 90 diagonais 
b) 2340º e 80 diagonais 
c) 2440º e 90 diagonais 
d) 340º e 10 diagonais 
 
4. Determine o valor de x na figura abaixo. 
 
a) 120º 
b) 10º 
c) 5º 
d) 90º 
 
5. Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos 
vale 1800º? 
a) dodecágono 
b) decágono 
c) octógono 
d) pentágono 
 
6. A soma dos ângulos internos e dos ângulos externos 
de um polígono regular vale 1800º. O número de 
diagonais desse polígono é 
a) 25. b) 35. c) 45. d) 55 
 
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7. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um 
polígono regular formam um ângulo de 24º. O número 
de diagonais desse polígono é 
a) 70 
b) 80 
c) 90 
d) 100 
 
8. Um polígono regular tem 20 diagonais. A medida, em 
graus, de um de seus ângulos internos é: 
a) 201° 
b) 167° 
c) 162° 
d) 150° 
e) 135° 
 
9. A soma das medidas dos ângulos internos e externos 
de um polígono convexo é 3600º. O número de 
diagonais desse polígono é um número: 
a) par divisível por 15. 
b) par maior que 150. 
c) ímpar múltiplo de 19. 
d) ímpar primo. 
 
10. Em um polígono regular, a medida de um ângulo 
interno é o triplo da medida de um ângulo externo. Esse 
polígono é o 
a) hexágono. 
b) octógono. 
c) eneágono. 
d) decágono. 
 
11. O lado de um eneágono regular mede 2,5 cm. O 
perímetro desse polígono, em cm, é 
a) 15 
b) 20 
c) 22,5 
d) 27,5 
 
12. Ao somar o número de diagonais e o número de 
lados de um dodecágono obtém-se 
a) 66 
b) 56 
c) 44 
d) 42 
 
13. O polígono regular cujo ângulo externo mede 24° 
tem_____ lados. 
a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 
 
14. A metade da medida do ângulo interno de um 
octógono regular, em graus, é 
a) 67,5 
b) 78,6 
c) 120 
d) 85 
 
15. A diferença entre as medidas de um ângulo interno 
de um dodecágono regular e de um ângulo interno de 
um octógono também regular é 
a) 15° 
b) 25° 
c) 30° 
d) 40° 
 
16. O polígono cujo número de diagonais excede de 42 
o número de lados é o: 
a) hexágono 
b) octógono 
c) eneágono 
d) decágono 
e) dodecágono 
 
17. Seja ABCDE... um polígono regular convexo onde 
as mediatrizes dos lados AB e CD formam um ângulo 
de 30º. Sendo assim, temos que o número de diagonais 
desse polígono e igual a: 
a) 252 
b) 251 
c) 250 
d) 249 
e) 248 
 
18. Se um polígono regular é tal que a medida de um 
ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo, 
o número de lados desse polígono é: 
a) 12 
b) 9 
c) 6 
d) 4 
e) 8 
 
19. Considere um polígono regular ABCDEF... . Sabe-
se que as mediatrizes dos lados AB e CD formam um 
ângulo de 20° e sua região correspondente contém os 
vértices “B” e “C” do polígono. Assim sendo, quantas 
diagonais deste polígono passam pelo centro, dado que 
o seu número de vértices é maior que seis? 
a) 17 
b) 15 
c) 16 
d) 18 
e) 14 
 
20. Cada ângulo interno de um decágono regular mede: 
a) 36° 
b) 60° 
c) 72° 
d) 120° 
e) 144° 
 
21. O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos 
mede 1440° tem, exatamente: 
a) 15 diagonais 
b) 20 diagonais 
c) 25 diagonais 
d) 30 diagonais 
e) 35 diagonais 
 
22. Se um polígono convexo de n lados tem 54 
diagonais, então n é: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
 
 
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23. O ângulo interno de um polígono regular mede 150º. 
Esse polígono denomina-se: 
a) eneágono 
b) decágono 
c) icoságono 
d) dodecágono 
e) pentadecágono 
 
24. Alice aprendeu em uma aula de geometria que todo 
polígono convexo de n lados possui 
n(n 3)
2
−
 diagonais. 
Então, o número de lados de um polígono convexo que 
possui um total de 35 diagonais é igual a: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
25. Na figura, tem-se um pentágono regular e um 
quadrado. O valor de x + y é 
a) 126°. 
b) 102°. 
c) 117°. 
d) 114°. 
 
 
26. A soma das medidas dos ângulos internos A, B, C, 
D e E da figura é 
a) 120º 
b) 180º 
c) 360º 
d) 540º 
 
 
27. Sejam A, B e C três polígonos convexos. Se C tem 
3 lados a mais que B, e este tem 3 lados a mais que A, 
e a soma das medidas dos ângulos internos dos três 
polígonos é 3240°, então o número de diagonais de C 
é 
a) 46. 
b) 44. 
c) 42. 
d) 40. 
 28. Dois polígonos convexos têm o número de lados 
expresso por n e por n + 3. Sabendo que um polígono 
tem 18 diagonais a mais que o outro, o valor de n é 
a) 10 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
 
29. Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. 
As medidas dos ângulos x, y e z, em graus, 
são, respectivamente 
 
a)72;36;36 
b)72;36;72 
c)36;36;72 
d)36;72;36 
 
 
 
 
 
30. Observe: 
I - É sempre possível construir um polígono regular de 
n lados, para n  3. 
II - Triângulo é, em todos os possíveis casos, inscritível 
em uma circunferência. 
III - Um ângulo central(âc) de um polígono regular de n 
lados inscrito em uma circunferência mede 
( )
.
n
2nº180
âc
−
= 
IV - Sempre é possível construir uma circunferênciaque 
passa pelos n vértices de um polígono qualquer. 
 
Quantas das assertivas acima são falsas? 
a) 1 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
31. Um professor desenhou um polígono regular e 
percebeu que de cada vértice podia traçar no máximo 
5 diagonais. O número total de diagonais desse 
polígono equivale a: 
a) 14 
b) 20 
c) 27 
d) 35 
e) 44 
 
32. Um polígono regular possui, a partir de um de seus 
vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de 
um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono 
mede, em graus, 
a) 140 
b) 150 
c) 155 
d) 160 
 
33. A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
hexágono regular. A medida, em graus, de um dos 
ângulos formados pelas diagonais AC e BD é: 
a) 90 
b) 100 
c) 110 
d) 120 
e) 150 
 
34. O polígono regular convexo tem o ângulo interno 
medindo 150°. O número das diagonais deste polígono 
que não passam pelo seu centro é: 
a) 48 
b) 42 
c) 54 
d) 65 
e) 30 
 
35. Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos 
internos consecutivos é 190°. O maior dos ângulos 
formados pelas bissetrizes internas dos outros dois 
ângulos desse quadrilátero mede: 
a) 105° 
b) 100° 
c) 95° 
d) 85° 
 
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36. Um polígono regular possui 70 diagonais que não 
passam pelo seu centro. O valor da medida do ângulo 
interno do referido polígono está, em graus 
compreendido entre: 
a) 70 e 80 
b) 100 e 120 
c) 120 e 130 
d) 140 e 150 
e) 150 e 160 
 
37. Na figura abaixo, determine x, sabendo que AP e 
CP são bissetrizes. 
 
a) 52º 30’ 
b) 52º 
c) 50º 30’ 
d) 50º 30’ 
 
38. Um polígono regular tem vinte diagonais. A medida 
em graus, de um de sus ângulos internos é: 
a) 201 
b) 167 
c) 162 
d) 150 
e) 135 
 
39. Três polígonos convexos têm n, n + 1 e n + 2 lados, 
respectivamente. Sendo 2700º a soma de todos os 
ângulos internos dos três polígonos, determine o valor 
de n. 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
40. Um polígono regular convexo tem o seu número de 
diagonais expresso por: n2 − 10n + 8, onde n é o seu 
número de lados. O seu ângulo interno x é tal que: 
a) x < 120° 
b) 120 < x < 130° 
c) 130°< x < 140° 
d) 140 < x < 150° 
e) x > 150° 
 
41. Três polígonos têm o número de lados expressos 
por números inteiros consecutivos. Sabendo que o 
número total de diagonais dos três polígonos é igual a 
28, determine o polígono com maior número de 
diagonais. 
a) heptágono 
b) octógono 
c) eneágono 
d) decágono 
 
42. O total de diagonais de dois polígonos regulares é 
41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o 
outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo 
central menor, mede: 
a) 120° 
b) 135° 
c) 140° 
d) 144° 
e) 150° 
 
43. Sendo AP̅̅̅̅ e PC̅̅̅̅ bissetrizes de  e Ĉ, determine x 
sendo AB̅̅ ̅̅ // PC̅̅̅̅ e AP̅̅̅̅ // BC̅̅̅̅ . 
 
a) 100º 
b) 110º 
c) 120º 
d) 130º 
 
44. Um polígono ABCD... é regular. As bissetrizes 
internas dos ângulos dos vértices A e C formam um 
ângulo de 72°. O número de lados desse polígono é: 
a) 7 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
e) 20 
 
45. Os pontos A, B, C, D e E são vértices consecutivos 
de um decágono regular. Achar o ângulo BÂE. 
a) 60º 
b) 36º 
c) 45º 
d) 108º 
e) 54º 
 
46. Um polígono regular admite para a medida de suas 
diagonais apenas os números n1, n2, n3, ..., n27, tais que 
n1 < n2 < n3 < ... < n27. Logo este polígono 
a) Tem 30 lados 
b) Pode ter 54 lados 
c) Pode ter 57 lados 
d) Pode ter 58 lados 
e) Tem um número de lados maior que 60 
 
47. Determine os valores de y e x na figura abaixo 
sabendo que o hexágono e o quadrilátero da imagem 
são regulares. 
a) x = 30º, y = 45º 
b) x = 35º, y = 45º 
c) x = 30º, y = 42º 
d) x = 45º, y = 30º 
 
 
 
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48. Considere as afirmações sobre polígonos convexos 
I – Existe apenas um polígono cujo número de 
diagonais coincide com o número de lados. 
II – não existe polígono cujo o número de diagonais seja 
o quadruplo do número de lados. 
III – se a razão entre o número de diagonais e o de 
lados de um polígono é um número natural, então o 
número de lados do polígono é ímpar. 
Quais afirmativas estão corretas? 
a) Apenas I 
b) Apenas II 
c) Apenas III 
d) Apenas I e II 
e) Apenas I e III 
 
49. De dois polígonos convexos, um tem a mais que o 
outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos 
números de vértices e de diagonais dos dois polígonos 
é igual a: 
a) 53 
b) 65 
c) 66 
d) 70 
e) 77 
 
50. Considere um polígono convexo de nove lados, em 
que é somada uma razão a cada vértice de 5 a cada 
vértice seguinte. Então, seu maior ângulo mede, em 
graus: 
a) 120 
b) 130 
c) 140 
d) 150 
e) 160 
 
51. Dois ângulos internos de um polígono convexo 
medem 130º cada um e os demais ângulos internos 
medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é: 
a) 6 
b) 7 
c) 13 
d) 16 
e) 17 
 
52. Sendo AP̅̅̅̅ e PC̅̅̅̅ bissetrizes de  e Ĉ, determine x 
sendo AB̅̅ ̅̅ e PC̅̅̅̅ paralelas. 
 
a) 120º 
b) 130º 
c) 140º 
d) 150º 
 
 
 
 
53. Se o triângulo AFB é equilátero e ABCDE é um 
pentágono regular, determine x abaixo. 
a) 62º 
b) 64º 
c) 66º 
d) 68º 
 
 
 
 
 
 
54. Se o triângulo AFB é equilátero e ABCDE é um 
pentágono regular, determine x abaixo. 
a) 12º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 21º 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 3, 4, 5, 12, 14, 15, 17, 26, 34, 37, 41, 43, 47, 54 
B) 6, 9, 10, 13, 27, 29, 31, 32, 44, 49, 51 
C) 1, 7, 11, 24, 25, 28, 35, 39, 42, 46, 53 
D) 2, 19, 23, 30, 33, 52 
E) 8, 16, 18, 20, 21, 22, 36, 38, 40, 45, 48, 50