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A interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável é a de que ela representa a inclinação da reta tangente ao ponto da função que se calcula a derivada. Sabendo disso, a derivada pode ser aplicada para determinar os pontos de máximo e mínimo da função. Basta derivar e igualar a zero. Uma vez achado estes pontos, para determinar se é um ponto de máximo ou de mínimo, faz-se o teste da segunda derivada (se a segunda derivada no ponto for positiva, é ponto de mínimo e se for negativa, de máximo). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir.
Está correto apenas o que se afirma em:
I. A interpretação geométrica da derivada parcial é a inclinação da reta tangente à curva da direção que se calcula a derivada.
II. Para determinar os pontos de máximo e mínimo em funções de duas variáveis, basta igualar uma das derivadas a zero.
III. No teste da segunda derivada, os sinais das derivadas segundas em x e em y devem ser os mesmos para termos um ponto de máximo ou mínimo.
IV. O ponto destacado no gráfico tem as derivadas parciais em x e em y igual a zero.
A I, II e IV.
B I, III e IV.
C II, III e IV.
D I e II.
E II e IV.
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há 4 semanas

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há 4 semanas

autoaprendizagem 01- vetorial e EDO
6 pág.

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UNOPAR

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há 4 semanas

Vamos analisar cada afirmativa: I. A interpretação geométrica da derivada parcial é a inclinação da reta tangente à curva na direção que se calcula a derivada. Verdadeiro, essa afirmativa está correta, pois a derivada parcial representa a inclinação da reta tangente à superfície em uma direção específica. II. Para determinar os pontos de máximo e mínimo em funções de duas variáveis, basta igualar uma das derivadas a zero. Falso, para encontrar os pontos críticos em funções de duas variáveis, é necessário igualar ambas as derivadas parciais a zero. III. No teste da segunda derivada, os sinais das derivadas segundas em x e em y devem ser os mesmos para termos um ponto de máximo ou mínimo. Falso, o teste da segunda derivada envolve a matriz Hessiana e a análise dos sinais das derivadas segundas, mas não é suficiente que os sinais sejam os mesmos; é necessário considerar a determinante da matriz Hessiana. IV. O ponto destacado no gráfico tem as derivadas parciais em x e em y igual a zero. Verdadeiro, essa afirmativa está correta, pois em um ponto de máximo ou mínimo, as derivadas parciais devem ser iguais a zero. Com base nas análises, as afirmativas verdadeiras são I e IV. Portanto, a alternativa que contém todos os itens verdadeiros é: A) I, II e IV.

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Em funções de uma variável, uma função é contínua quando limf (x ) x →a = f ( a) , para todo a pertencente ao domínio da função. Isto é, o limite da função no ponto existe, a função no ponto está definida e ambos são iguais para todo ponto do domínio. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre continuidade de funções de várias variáveis, analise as afirmativas a seguir.
Está correto apenas o que se afirma em:
I. Uma função f(x,y) é contínua quando lim f (x ,y ) (x ,y ) → (a ,b ) = f ( a , b) para todo (a,b) pertencente ao domínio.
II. A função f (x , y ) = x 2− y 2 / x 2+ y 2 é contínua no domínio D = {(x ,y ) | (x ,y ) ≢ ( 0,0) }.
III. A função definida por partes f f (x ,y ) = 3x 2y / x 2+ y 2 , se (x ,y ) ≢ ( 0,0) e f (x ,y ) = 0, se (x ,y ) = ( 0,0) é descontínua.
IV. A função definida por partes f (x ,y ) = sen (x 2+ y 2) / x 2+ y 2 , se (x ,y ) ≢ ( 0,0) e f (x ,y ) = 0, se (x ,y ) = ( 0,0) é descontínua.
A I, III e IV.
B I e II.
C I, II e IV.
D II, III e IV.
E II e IV.

Funções de três variáveis é uma regra que associa pontos com três coordenadas a um número. Por ter três números de entrada, podem ser interpretadas como funções que representam propriedades ao longo de um certo volume. Assim, dada uma função, é necessário saber reconhecer qual o volume em questão. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de três variáveis e conjuntos, analise as afirmativas a seguir.
Está correto apenas o que se afirma em:
I. O domínio da função f(x,y,z)=√(1-x²-y²-z²) é D={(x,y,z) | x²+y²+z²≥1}.
II. Funções de três variáveis podem ser representados em um espaço de três dimensões.
III. As curvas de nível de uma função de três variáveis podem ser representadas em um espaço de três dimensões.
IV. O domínio da função f(x,y,z)=√(16-x²-y²)/(x-z+2) é D={(x,y,z) | x²+y²≤16 e z≠x+2}.
A I, II e IV.
B II e IV.
C I, II e III.
D I e II.

Curvas de níveis são as regiões em uma função em que ela possui sempre o mesmo valor. Para a construção de curvas de níveis, basta fazer f(x,y)=k, no qual k corresponde a uma constante. Isso equivale a fazer um mapa das linhas da função onde a função tem o mesmo valor k. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre curvas, analise as funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas características.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1) f(x,y)=cos (x)+sen(y).
2) f(x,y)=4x+3y.
3) f(x,y)=(x+y)/(x +y ).
4) f(x,y)=y^2.
A 4, 3, 1, 2.
B 2, 3, 4, 1.
C 1, 2, 3, 4.

Uma função é uma regra que associa elementos de dois conjuntos. Assim como em funções de uma variável, para funções de várias variáveis há os conceitos de domínio e contradomínio. Sendo o domínio os elementos de “entrada” da regra e o contradomínio os de “saída”. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas variáveis e conjuntos, analise as afirmacoes a seguir.
Está correto apenas o que se afirma em:
I. O par ordenado (-2, 1) pertence ao domínio da função f(x,y) = √(x+y) .
II. O contradomínio da função f(x,y) =√(x+y) é o conjunto dos reais positivos.
III. O par ordenado (-2,-2) pertence ao domínio da função f(x,y) =√(x²+y²) .
IV. As relações {(0,1)≥0, (0,2)≥1, (0,2)≥3} representam uma função de duas variáveis.
A II e IV
B I, II e IV
C I e II
D I, III e IV

O conhecimento da natureza de um objeto matemático permite uma manipulação algébrica desse objeto de forma mais precisa. No caso dos campos gradientes, divergentes e rotacionais, o conhecimento acerca de suas naturezas é fundamental para manipulá-los entre si. Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca da natureza dos campos gradientes, divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
I. ( ) Um campo gradiente é um campo vetorial.
II. ( ) Um campo rotacional é um campo vetorial.
III. ( ) Um campo divergente é um campo vetorial.
IV. ( ) Um campo divergente em R³ é escrito na forma ∂A/∂x + ∂B/∂y + ∂C/∂z.
A V, V, F, V.
B V, F, F, F.
C V, V, F, F.
D F, V, F, V.
E V, F, V, F.

Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função cruza os eixos das coordenadas cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as outras variáveis referentes aos outros eixos. Por exemplo, f(x,y)=x+y -3, fazendo y=0, temos f(x,0)=x-3. Fazendo f(x,0)=0, temos que a função cruza o eixo x em x=3. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).
Está correto apenas o que se afirma em:
I. ( ) A função f(x,y)=1 não cruza os eixos x e y.
II. ( ) A função f(x,y)=1-x-y cruza os eixos x e y respectivamente em x=1 e y=1.
III. ( ) A função f(x,y)=√(x +y ) cruza o eixo y em y=1.
IV. ( ) A função f(x,y)=√(16+x +y ) cruza o eixo z em f(0,0)=4.
A V, V, V, F
B V, V, F, V
C V, F, V, F
D F, V, F, V
E V, V, F, F

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