Para resolver o sistema linear utilizando a fatoração LU, precisamos entender como aplicar essa técnica. A fatoração LU de uma matriz A é uma decomposição em duas matrizes: L (matriz triangular inferior) e U (matriz triangular superior). Dado o sistema: 1. \( a + b + c = 3 \) 2. \( 27a + 9b + 3c = -21 \) 3. \( 64a + 16b + 4c = -24 \) A matriz dos coeficientes é: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 27 & 9 & 3 \\ 64 & 16 & 4 \end{bmatrix} \] A fatoração LU fornecida é: \[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 27 & 1 & 0 \\ 84 & 8/2 & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -18 & -24 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \] Para encontrar a solução do sistema, seguimos os passos: 1. Resolver \( L \cdot y = b \), onde \( b \) é o vetor de constantes do sistema: \[ b = \begin{bmatrix} 3 \\ -21 \\ -24 \end{bmatrix} \] 2. Substituir e resolver para \( y \): - \( y_1 = 3 \) - \( 27y_1 + y_2 = -21 \) → \( 27(3) + y_2 = -21 \) → \( y_2 = -21 - 81 = -102 \) - \( 84y_1 + \frac{8}{2}y_2 + y_3 = -24 \) → \( 84(3) + 4(-102) + y_3 = -24 \) → \( 252 - 408 + y_3 = -24 \) → \( y_3 = -24 + 156 = 132 \) 3. Resolver \( U \cdot x = y \): - \( x_3 = \frac{132}{4} = 33 \) - \( -18x_2 - 24(33) = -102 \) → \( -18x_2 - 792 = -102 \) → \( -18x_2 = 690 \) → \( x_2 = -\frac{690}{18} = -38.33 \) - \( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \) → \( x_1 - 38.33 + 33 = 3 \) → \( x_1 - 5.33 = 3 \) → \( x_1 = 8.33 \) Assim, a solução do sistema é: \[ x_1 \approx 8.33, \quad x_2 \approx -38.33, \quad x_3 = 33 \] Por favor, verifique as opções disponíveis para identificar a que melhor se aproxima ou representa essa solução.