Para resolver a equação diferencial linear dada \( y' + \tan(x) y = \cos(x) \), vamos usar o método do fator integrante. 1. A equação está na forma padrão \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = \tan(x) \) e \( Q(x) = \cos(x) \). 2. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por \( e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \tan(x) \, dx} = e^{-\ln|\cos(x)|} = \sec(x) \). 3. Multiplicamos toda a equação pela secante: \[ \sec(x) y' + \sec(x) \tan(x) y = \sec(x) \cos(x) \] que simplifica para: \[ \sec(x) y' + \sec(x) \tan(x) y = 1 \] 4. A equação agora pode ser reescrita como a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(\sec(x) y) = 1 \] 5. Integrando ambos os lados: \[ \sec(x) y = x + C \] 6. Portanto, isolando \( y \): \[ y = x \cos(x) + C \cos(x) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( y = \sen(x) + x + C \) - Não é a solução correta. b) \( y = \tan(x) + C \) - Não é a solução correta. c) \( y = x + \ln|\sec(x) + \cot(x)| + C \) - Não é a solução correta. d) \( y \cdot \sec(x) = x + C \) - Esta é a forma correta da solução. e) \( y \cdot \csc(x) = 4x^2 + C \) - Não é a solução correta. Portanto, a alternativa correta é: d) \( y \cdot \sec(x) = x + C \).