Vamos analisar a primeira pergunta sobre qual subconjunto é um subespaço do \(\mathbb{R}^3\). Para que um subconjunto \(S\) seja um subespaço de \(\mathbb{R}^3\), ele deve satisfazer três condições: 1. O vetor nulo deve estar em \(S\). 2. Se \(u\) e \(v\) estão em \(S\), então \(u + v\) também deve estar em \(S\). 3. Se \(u\) está em \(S\) e \(c\) é um escalar, então \(cu\) também deve estar em \(S\). Agora, vamos analisar as opções: a) \(S = \{(1, y, z) \in \mathbb{R}^3\}\) - Não contém o vetor nulo \((0, 0, 0)\), então não é um subespaço. b) \(S = \{(0, y, 3) \in \mathbb{R}^3\}\) - Também não contém o vetor nulo, então não é um subespaço. c) \(S = \{(x, -x, z) \in \mathbb{R}^3\}\) - Contém o vetor nulo \((0, 0, 0)\) e é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço. d) \(S = \{(x-y, 2, z) \in \mathbb{R}^3\}\) - Não contém o vetor nulo, então não é um subespaço. e) \(S = \{(0, 2z, z+2) \in \mathbb{R}^3\}\) - Não contém o vetor nulo, então não é um subespaço. Portanto, a alternativa correta é a c) \(S = \{(x, -x, z) \in \mathbb{R}^3\}\).