Para determinar a equação diferencial que possui a solução \( y = Ae^{-t^2} + Be^{-2t} \), precisamos considerar as raízes da equação característica, que são \( -t^2 \) e \( -2t \). A forma geral de uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes é: \[ y'' + p y' + q y = 0 \] As raízes da equação característica associada a essa equação diferencial são dadas pela forma \( r^2 + pr + q = 0 \). Dado que temos as raízes \( -1 \) e \( -2 \) (considerando que \( -t^2 \) e \( -2t \) se referem a raízes reais e não complexas), podemos montar a equação característica: 1. As raízes são \( r_1 = -1 \) e \( r_2 = -2 \). 2. A soma das raízes \( r_1 + r_2 = -1 - 2 = -3 \). 3. O produto das raízes \( r_1 \cdot r_2 = (-1)(-2) = 2 \). Assim, a equação característica pode ser escrita como: \[ r^2 + 3r + 2 = 0 \] Portanto, a equação diferencial correspondente é: \[ y'' + 3y' + 2y = 0 \] Agora, analisando as alternativas: a) \( y'' - 2y' - 12y = 0 \) b) \( y'' + 5/2y' + 1y = 0 \) c) \( y'' - 12y' - 2y = 0 \) d) \( y'' - 2.5y' + 1y = 0 \) Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à equação que encontramos. Portanto, parece que não há uma opção correta entre as alternativas fornecidas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!