Para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea \( y'' + 6y' + 12y = 0 \), precisamos encontrar as raízes da equação característica associada, que é dada por: \[ r^2 + 6r + 12 = 0 \] Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 48}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-12}}{2} \] As raízes são complexas: \[ r = -3 \pm i\sqrt{3} \] Com isso, a solução geral da equação diferencial é dada pela forma: \[ y(t) = e^{\text{parte real} \cdot t} \left( C_1 \cos(\text{parte imaginária} \cdot t) + C_2 \sin(\text{parte imaginária} \cdot t) \right) \] Substituindo os valores que encontramos: \[ y(t) = e^{-3t} \left( C_1 \cos(\sqrt{3} t) + C_2 \sin(\sqrt{3} t) \right) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( y = e^{-3t}(C_1 \sen(3t) + C_2 \cos(3t)) \) - Não está correta, pois a parte imaginária é \(\sqrt{3}\), não \(3\). b) \( y = e^{-3t}(C_1 \sen(\sqrt{3} t) + C_2 \cos(\sqrt{3} t)) \) - Esta opção está correta. c) \( y = e^{-3t}(\sen(\sqrt{3} t) + \cos(\sqrt{3} t)) \) - Não está correta, pois não tem as constantes \(C_1\) e \(C_2\). d) \( y = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{3t} \) - Não está correta, pois não representa a solução da equação dada. Portanto, a alternativa correta é: b) \( y = e^{-3t}(C_1 \sen(\sqrt{3} t) + C_2 \cos(\sqrt{3} t)) \).