Um engenheiro ambiental deseja calcular a quantidade de poluente acumulada em um lago quadrado de lado 1 km, cuja concentração em um ponto (x,y), em coordenadas planas (km), é modelada por C parêntese esquerdo x vírgula y parêntese direito espaço igual a espaço 3 x e à potência de y vírgula espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 menor ou igual a x menor ou igual a 1 vírgula espaço 0 menor ou igual a y menor ou igual a 1 vírgula medida em mg/m³. A quantidade total de poluente no lago pode ser obtida pela integral dupla: Q igual a integral integral com R subscrito 3 x e à potência de y d x d y vírgula espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço R igual a parêntese recto esquerdo 0 vírgula 1 parêntese recto direito espaço x espaço parêntese recto esquerdo 0 vírgula 1 parêntese recto direito Qual o valor de Q? A 3 sobre 2 parêntese esquerdo e menos 1 parêntese direito B 3 parêntese esquerdo e menos 1 parêntese direito C parêntese esquerdo e ao quadrado menos 1 parêntese direito D parêntese esquerdo e menos 1 parêntese direito E

Question

Um engenheiro ambiental deseja calcular a quantidade de poluente acumulada em um lago quadrado de lado 1 km, cuja concentração em um ponto (x,y), e...

Ed · Answer

Para calcular a quantidade total de poluente $ Q $ no lago, precisamos resolver a integral dupla dada:

$$
Q = \int_0^1 \int_0^1 3x e^y \, dx \, dy
$$

Vamos resolver essa integral passo a passo.

1. **Integral em relação a $ x $**:
   $$
   \int_0^1 3x e^y \, dx
   $$
   Aqui, $ e^y $ é uma constante em relação a $ x $. Portanto, podemos fatorá-lo para fora da integral:
   $$
   = e^y \int_0^1 3x \, dx
   $$
   A integral de $ 3x $ de 0 a 1 é:
   $$
   \int_0^1 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{3(1)^2}{2} - 0 = \frac{3}{2}
   $$
   Assim, temos:
   $$
   \int_0^1 3x e^y \, dx = \frac{3}{2} e^y
   $$

2. **Integral em relação a $ y $**:
   Agora, precisamos calcular:
   $$
   Q = \int_0^1 \frac{3}{2} e^y \, dy
   $$
   A integral de $ e^y $ de 0 a 1 é:
   $$
   \int_0^1 e^y \, dy = \left[ e^y \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1
   $$
   Portanto, temos:
   $$
   Q = \frac{3}{2} (e - 1)
   $$

Assim, a quantidade total de poluente no lago é:
$$
Q = \frac{3}{2} (e - 1)
$$

A alternativa correta é a) $ \frac{3}{2} (e - 1) $.

Matemática

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