Medidas Descritivas

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MEDIDAS DESCRITIVAS/ESTATÍSTICAS 
Aula: 18 /03/ 2015 
Após a organização dos dados em distribuições 
de frequências, onde tornou-se possível 
visualizar como uma variável se distribui, em 
termos dos dados observados, isto é, se ela 
localiza no início, no meio ou no final, ou, ainda, 
se há uma distribuição por igual. 
MEDIDAS DESCRITIVAS/ESTATÍSTICAS 
Descreve um conjunto de dados de forma 
organizada e compacta, possibilitando a 
visualização deste conjunto por meio de suas 
estatísticas. 
MEDIDAS DESCRITIVAS/ESTATÍSTICAS 
Quando a variável em estudo é quantitativa, 
podemos resumir certas informações de seus 
dados por algumas medidas descritivas 
(estatísticas). 
MEDIDAS DESCRITIVAS/ESTATÍSTICAS 
MEDIDAS DESCRITIVAS: 
• Medidas de Posição; 
• Medidas de Dispersão; 
• Medidas de Assimetria; e 
• Medidas de Curtose. 
 
Primeiramente, estudaremos as medidas 
descritivas de Posição para dados não 
agrupados. 
MEDIDAS DE POSIÇÃO/CENTRO/TENDÊNCIA CENTRAL 
As medidas de posição recebem tal 
denominação pelo fato de os dados observados 
tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos 
valores centrais. 
Dentre as medidas de posição, destacaremos: 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
• A média aritmética; 
• A moda; 
• A mediana; 
As outras medidas de posição são as 
separatrizes, que englobam: 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
• A própria mediana; 
• Os quartis; 
• Os percentis; 
• Os decis; 
Em um conjunto de dados, podemos definir 
vários tipos de médias. No entanto, em nossos 
estudos iremos nos limitar à mais importante: a 
média aritmética: 
Média aritmética é o quociente da divisão da 
soma dos valores da variável pelo quantidade 
deles. 
n
x
x
n
i
i


1
MÉDIA ARITMÉTICA ( 𝒙 ) 
Média Aritmética  
n
x
x
n
i
i


1
FÓRMULA: 
, sendo: 
x
→ a média aritmética; 
xi → os valores da variável; 
n → quantidade de valores da variável; 
MÉDIA ARITMÉTICA - DADOS AGRUPADOS 
Exemplo 1: Sabendo-se que o número de 
visitantes em um museu, durante uma semana, 
foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 visitantes, 
determine o número médio de visitantes na 
semana: 
7
12181615131410 
x
Logo, a média para os dados apresentados é de 
14 visitantes. 
 MÉDIA ARITMÉTICA - DADOS AGRUPADOS 
Exemplo 2: No conjunto de valores referentes ao 
número de viagens de oito turistas: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7 e 
8. Determine o número médio de viagens destes 
turistas. 
8
87766554 
x
viagensx 6
8
84

Ilustrando o comportamento da média do 
exemplo 2: 
4 5 
5 
6 
6 
7 
7 
8 
6x
Observando a figura, verificamos que a média indica 
o centro de um conjunto de dados, ou seja, é o ponto 
de uma distribuição em torno do qual os valores 
acima dele se equilibram com os que estão abaixo. 
Exemplo 3: Entretanto, se o conjunto de valores do 
exemplo acima fosse formado pelos valores {4, 5, 5, 6, 
6, 7, 7, 24},o que aconteceria com o valor da média? 
8
247766554 
x
viagensx 8
8
64

Ilustrando o comportamento da média do 
exemplo 3: 
4 5 
5 
6 
6 
7 
7 
24 
8x
Como podemos observar, a maioria dos valores 
observados ficou abaixo do valor da média, ou seja, 
o valor da média foi deslocado do centro da 
distribuição pelo valor observado extremo (24). 
Obs.: Ás vezes, a média pode ser um número 
diferente de todos os dados do conjunto que ela 
representa. É o que acontece quando temos os 
valores 2, 4, 8 e 10, para os quais a média 
aritmética é 6. Esse será o número 
representativo desse conjunto de valores, 
embora não esteja representado nos dados 
originais. 
MÉDIA ARITMÉTICA - DADOS AGRUPADOS 
 MODA (Mo) - DADOS NÃO AGRUPADOS 
Denominaremos moda o valor que ocorre com 
maior frequência em um conjunto de dados. 
Desse modo, o salário modal dos empregados 
de uma indústria é o salário mais comum, isto é, 
o salário recebido pelo maior número de 
empregados dessa indústria. 
Exemplo 4: 
Dados os conjuntos a seguir, determine e 
classifique o valor modal: 
a) A = {1, 2, 2, 3, 4} 
b) B = {1, 1, 2, 2, 3, 4} 
 MODA (Mo) - DADOS NÃO AGRUPADOS 
Mo = 2 Unimodal 
Mo1 = 1 Bimodal 
Mo2 = 2 
c) C = {1, 2, 3, 4} 
d) D = {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5} 
Amodal 
Polimodal 
e) H = ,,,, ,,,, ,,,, ,,,. 
Amodal 
 MODA (Mo) - DADOS NÃO AGRUPADOS 
Obs.: A Moda é também a única das medidas de 
posição que faz sentido no caso das variáveis 
qualitativas. 
Mediana (Md) 
A mediana de um conjunto de valores, dispostos 
segundo uma ordem (crescente ou decrescente), 
é o valor situado de tal forma no conjunto que o 
separa em dois subconjuntos de mesmo número 
de elementos. 
Cálculo da Mediana para dados não agrupados: 
Se n for número ímpar: 
O valor mediano será o termo de ordem dado 
pela fórmula: 
2
1n
Exemplo: Determine a mediana de A = {1, 2, 2, 3, 4} 
Md = 2 
Se n for par: 
O valor mediano será a média entre os 
elementos centrais de ordem . 
1
22

n
e
n
MEDIANA 
Determine a Md de D = {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5} 
Obs.: Como medida de posição, a Mediana 
representa, de fato, o centro (meio) do conjunto de 
valores ordenados. Assim como a Média, o valor da 
Mediana não precisa coincidir com algum dos valores 
do conjunto de dados. 
COMPARAÇÃO ENTRE MODA, MEDIANA E MÉDIA 
Conforme vimos , a Média é a única das três medidas 
de posição apresentadas que leva em consideração 
todos os valores do conjunto na obtenção. Pela sua 
definição, somente é possível determinar o valor da 
média para variáveis quantitativas. 
Observamos que uma desvantagem da média é que 
ela é afetada pela presença de valores extremos, ou 
seja, se há um valor ou valores muito altos(s) ou 
muito baixo(s) dentro do conjunto de valores 
observados, a média se desloca para próximo desse 
extremo saindo do ponto de equilíbrio. 
COMPARAÇÃO ENTRE MODA, MEDIANA E MÉDIA 
MEDIANA VERSUS MÉDIA 
A mediana, como vimos, divide um conjunto ordenado 
de valores em duas partes iguais. Comparada com a 
média, que leva em consideração todos os valores do 
conjunto, a mediana apenas resume o que ocorre no 
centro do conjunto de valores. 
A mediana, entretanto, ao contrário da média, não é 
influenciada por valores extremos, pois o que utilizamos 
para localizá-la é a ordem dos elementos e não 
diretamente seus valores. Sendo assim, se um 
elemento do conjunto de dados tem os eu valor alterado 
(um erro, por exemplo), mas sua ordem continua a 
mesma, a mediana não sofre influência nenhuma. 
MEDIANA VERSUS MÉDIA 
MEDIANA VERSUS MÉDIA 
De maneira geral, o uso da mediana é indicado 
quando o conjunto de dados possui algumas poucas 
observações extremas (valores muito mais altos ou 
muito mais baixo que os outros). 
MODA VERSUS MÉDIA E MEDIANA 
A moda, como vimos, resume-se a identificar o valor 
ou valores observados que mais se repetem numa 
distribuição. 
A vantagem em relação à média e a à mediana é a 
possibilidade de analisarmos a moda numa variável 
qualitativa, verificando qual a categoria que mais 
aparece (maior frequência) no conjunto de dados. 
1. Um certo cruzamento tem alto índice de 
acidentes de trânsito, conforme pode ser 
constatado em uma amostra dos últimos 12 
meses: 5, 4, 7, 8, 5, 6, 4, 7, 9, 7, 6 e 8. 
Determine as medidas de tendência 
central. 
Exercícios 
2. O número de espetáculos realizados 
pela SEC durante os cinco primeirosmeses de 2013 foram: 
 
 44 - 52 - 103 - 79 - 48 
Determine as medidas de posição. 
3. Para estudar pernoites médios (xi) na 
Província de Alicante, foram colhidos dados nos 
seguintes municípios turísticos escolhidos: 
 
Municípios Pernoites 
Venidorn 35 
Alcoy 13 
Elche 12 
Elda 10 
Determine as medidas de posição. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO/VARIABILIDADE 
As medidas de posição não proporcionam um quadro 
completo quanto ao comportamento de um conjunto 
de dados, pois não informam sobre o grau de variação 
ou dispersão do dados observados em torno da 
média. 
Na maioria dos casos uma única medida é suficiente 
para descrever de modo satisfatório um conjunto de 
dados. 
Exemplo 5: Número de viagens de 3 grupos de turistas: 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Grupo A 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Grupo B 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Grupo C 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
i) Os 3 grupos possuem a mesma média. 
ii) Os números das viagens estão distribuídos sob 
diferentes formas. 
iii) A média resume o conjunto de dados apenas 
posição central. 
iv) A média não fornece informações sobre a 
variabilidade dos dados. 
Conclusão: Apresentar junto da média uma medida 
que sumarize a variabilidade dos conjuntos de dados. 
Dentre as medidas de dispersão, estudaremos o 
desvio padrão e o coeficiente de variação. E a 
amplitude total que já foi estudada. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO/VARIABILIDADE 
DESVIO PADRÃO 
Esta medida leva em conta todas os dados 
observados e mede a dispersão desses dados em 
torno da média. 
FÓRMULA DO DESVIO PADRÃO: 
Dados Amostrais 
Dados Populacionais 
Exemplo 6: Determine o desvio padrão dos seguintes 
valores: 1, 3 e 2. 
Resolução: Primeiramente devemos calcular a 
média aritmética. 
2
3
61 


n
x
x
n
i
i
Agora podemos trabalhar a fórmula do desvio padrão para dados amostrais. 
EXERCÍCIOS 
4. Considerando os dados do exemplo 5 (número de 
viagens), determine o desvio padrão para cada 
grupo de alunos, compare e o interprete. 
Grupo A: 4, 5, 6, 7, e 8. 
Grupo B: 5, 6, 6, 6, e 7. 
Grupo C: 2, 3, 8, 8, e 9. 
Podemos observar que ainda que dois conjuntos de 
dados apresentem a mesma média como valor 
típico. O desvio padrão aumenta de valor à medida 
que aumenta a dispersão em torno da média 
aritmética. 
Mesmo que o desvio padrão requeira uma 
sequência de etapas de operações matemáticas 
para o seu cálculo, podemos afirmar que é uma 
medida de dispersão de mais fácil interpretação. 
DESVIO PADRÃO 
Quanto maior for a dispersão em torno da média 
de um conjunto de dados maior é o valor do 
desvio padrão. 
DESVIO PADRÃO 
5. Foram obtidos os tempos (em segundos) 
decorridos entre a formulação de um pedido e a 
entrega de um determinado sanduíche em uma 
lanchonete McTonalds. 
 135 90 85 121 83 69 159 177 
 120 133 90 80 70 93 80 110 
Calcule média, mediana, moda, desvio padrão e 
coeficiente de variação. Interprete os resultados e 
comente sobre como está sendo o atendimento 
nesta loja. 
 
EXERCÍCIOS 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
Uma questão que surge com frequência, é se um 
desvio padrão é grande ou pequeno. A resposta a 
esta questão depende da ordem de grandeza da 
variável. 
A comparação também se torna difícil em 
situações onde as médias são muito desiguais. 
Nestes casos, é conveniente exprimir a dispersão 
em termos relativos, ou seja, expressar a 
dispersão dos dados tirando a influência da ordem 
de grandeza da variável. 
O Coeficiente de Variação é uma medida relativa 
de dispersão e representa o desvio padrão 
expresso como porcentagem da média. 
FÓRMULA DO CV: 
ou 
Quanto menor o CV de um conjunto de dados 
menor é a sua dispersão. 
O CV é uma medida adimensional, isto é, não 
depende da unidade de medida. Essa característica 
no permite usá-lo para comparar a variabilidade de 
conjuntos de dados medidos em unidades diferentes. 
CLASSIFICAÇÃO DO GRAU DE HOMOGENEIDADE ATRAVÉS DO CV 
Quanto menor o coeficiente de variação, mais 
homogênea é a variável naquele conjunto de dados. 
Uma classificação possível segundo Soares & Siqueira 
(2002,p.58) é a seguinte: 
• CV inferior a 0,10 (10%) indica dispersão baixa. 
• CV entre 0,10 a 0,20 (entre10% e 20%) indica 
dispersão média. 
• CV entre 0,20 a 0,30 (entre20% e 30%) indica 
dispersão alta. 
• CV superior a 0,30 (30%) indica dispersão muito 
alta. 
Obs.: Embora seja uma medida de dispersão 
bastante usada, o desvio padrão nem sempre é a 
medida mais adequada. Quanto a média não é a 
medida de posição mais indica (por causa da 
presença de valores extremos, por exemplo), o 
desvio padrão e, por consequência, o Coeficiente de 
Variação, também não são indicados para medir a 
dispersão, pois ambos dependem da média e sofrem 
dos mesmos problemas. 
Exemplo 7: Estaturas(em cm) e pesos (em kg) de um 
grupo de turistas. 
Variável Média Desvio Padrão 
Estatura 175 5 
Peso 68 2 
Qual das variáveis possui maior homogeneidade? 
Estatura 
Peso 
Logo, nesse grupo de indivíduos, a variável estatura 
apresenta menor grau de dispersão nos dados que 
a variável peso e ambas apresentaram dispersão 
relativa baixa. 
Na figura abaixo foi plotada a média (20,60 C), a média acrescida de mais um 
desvio-padrão e a média descontada de um desvio-padrão da série de dados de 
temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG, com 
o objetivo de mostrar que uma grande porcentagem (cerca de 68%) dos dados 
ficam entre os limites da média somada e diminuída de um desvio-padrão. 
 
Figura 3. Temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação 
do IAG (São Paulo), juntamente com a média da série e a média acrescida e 
diminuída de um desvio-padrão. Os dados em análise possuem desvio-padrão 
igual a 2.2. 
 
Exemplo: Média x Desvio padrão 
REFERÊNCIAS 
• COSTA, Suely de Souza; NASCIMENTO, 
Sonia Araújo e NETO, José Cardoso. 
Metodologia aplicada às Ciências Sociais. 
Manaus: UEA, 2006.