Para resolver o problema do sistema massa-mola descrito pela equação diferencial \(y'' + 4y = 0\), precisamos encontrar a solução geral dessa equação. 1. Equação característica: A equação diferencial é de segunda ordem e linear. A equação característica associada é \(r^2 + 4 = 0\), que tem raízes complexas \(r = \pm 2i\). 2. Solução geral: A solução geral para essa equação é dada por: \[ y(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \] onde \(C_1\) e \(C_2\) são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. 3. Condições iniciais: Temos as condições iniciais: - \(y(0) = 0\) - \(y'(0) = 2\) 4. Aplicando a condição inicial \(y(0) = 0\): \[ y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = C_1 \] Portanto, \(C_1 = 0\). 5. Derivando \(y(t)\): \[ y'(t) = -2C_1 \sin(2t) + 2C_2 \cos(2t) \] Aplicando a condição inicial \(y'(0) = 2\): \[ y'(0) = -2C_1 \cdot 0 + 2C_2 \cdot 1 = 2C_2 \] Portanto, \(2C_2 = 2\) e \(C_2 = 1\). 6. Solução final: Substituindo os valores de \(C_1\) e \(C_2\) na solução geral, temos: \[ y(t) = 0 \cdot \cos(2t) + 1 \cdot \sin(2t) = \sin(2t) \] Assim, a função que representa o deslocamento da massa é: \[ y(t) = \sin(2t) \]