Para determinar o subespaço vetorial \( V \) gerado pelo conjunto de vetores \( S = \{(1,1,0), (2,0,1), (3,1,1)\} \), precisamos encontrar uma relação entre as coordenadas \( x, y, z \) que seja satisfeita por todos os vetores gerados por combinações lineares desses vetores. Vamos analisar os vetores: 1. O vetor \( (1,1,0) \) pode ser escrito como \( x = y \). 2. O vetor \( (2,0,1) \) não fornece uma relação direta entre \( x \) e \( y \), mas podemos observar que ele contribui para a combinação linear. 3. O vetor \( (3,1,1) \) pode ser escrito como \( x = 3y - 2z \). Agora, vamos verificar as opções: a) \( V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x = 2y + z\} \) - Não parece se encaixar nas combinações. b) \( V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x = 2z\} \) - Não se encaixa. c) \( V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x = y + 2z\} \) - Não se encaixa. d) \( V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x = y + z\} \) - Essa relação pode ser verificada. e) \( V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x = -y + 2z\} \) - Não se encaixa. Após analisar as opções, a relação que se encaixa melhor com as combinações lineares dos vetores dados é: d) \( V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \,|\, x = y + z\} \).