A equação diferencial que você apresentou parece estar incompleta, mas vamos considerar a forma geral da equação diferencial linear de segunda ordem: \[ y'' + 4y = 0. \] As soluções gerais dessa equação são da forma: \[ y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x), \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Dado que você tem as condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 4 \), vamos aplicar essas condições: 1. Aplicando a condição \( y(0) = 1 \): \[ y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = C_1. \] Portanto, \( C_1 = 1 \). 2. Calculando a derivada \( y'(x) \): \[ y'(x) = -2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x). \] 3. Aplicando a condição \( y'(0) = 4 \): \[ y'(0) = -2C_1 \sin(0) + 2C_2 \cos(0) = -2 \cdot 1 \cdot 0 + 2C_2 \cdot 1 = 2C_2. \] Portanto, \( 2C_2 = 4 \) implica que \( C_2 = 2 \). Assim, a solução que atende às condições iniciais é: \[ y(x) = \cos(2x) + 2\sin(2x). \]