Para reolver esse exercício, vamos relembrar de progressão geométrica, cujo termo geral é dado por:

\(a_n=a_1q^{n-1}\)

E cujo somatório é dado por:

\(S=a_1\left({1\over 1-q}\right), \left\vert q\right\vert<1\)

Para \(\left\vert x\right\vert<1\), fazendo \(a_1=1\) e \(q=-x\), temos:

\(f(x)={1\over 1+x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k\)

Para \(\left\vert x\right\vert>1\), vamos reescrever a função:

\(f(x)={1\over 1+x}={1\over x}\cdot{1\over 1+{1\over x}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k{1\over x^{k+1}}\)

Resumindo, temos:

\(\boxed{f(x)=\left\lbrace\begin{align} \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k&\ \ \ \ \left\vert x\right\vert <1\\ \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k{1\over x^{k+1}}&\ \ \ \ \left\vert x\right\vert >1 \end{align}\right.}\)