Para determinar se cada um dos problemas apresentados é um problema de Cauchy, precisamos verificar se a equação diferencial é bem definida e se a condição inicial é especificada corretamente. a) \( y' = -y^2 - x^2 \) com \( y(2) = 0 \) - A equação é uma equação diferencial de primeira ordem e é contínua em relação a \( y \) e \( x \). - A condição inicial \( y(2) = 0 \) está bem definida. - Portanto, este é um problema de Cauchy. b) \( y' = \sin(y^2)e^{x^2} \) com \( y(0) = 0 \) - A equação também é uma equação diferencial de primeira ordem e a função \( \sin(y^2)e^{x^2} \) é contínua em relação a \( y \) e \( x \). - A condição inicial \( y(0) = 0 \) está bem definida. - Portanto, este também é um problema de Cauchy. Agora, sobre a existência e unicidade da solução, podemos aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf, que garante a existência e unicidade de soluções para equações diferenciais que satisfazem as condições de Lipschitz em uma vizinhança do ponto inicial. Para ambos os problemas, como as funções são contínuas e satisfazem as condições de Lipschitz, podemos afirmar que existe uma solução única em um intervalo ao redor do ponto inicial. Resumindo: - a) É um problema de Cauchy e tem solução única em um intervalo ao redor de \( x = 2 \). - b) É um problema de Cauchy e tem solução única em um intervalo ao redor de \( x = 0 \). Se precisar de mais detalhes sobre a existência e o intervalo, você terá que criar uma nova pergunta.