Resolva as seguintes equações, usando a correspondente solução particular: y′(x)e−x + y2(x)− 2y(x)ex = 1− e2x, ypart(x) = ex.

Para resolver a equação diferencial dada: \[ y'(x)e^{-x} + y^2(x) - 2y(x)e^x = 1 - e^{2x} \] com a solução particular \( y_{part}(x) = e^x \), vamos seguir os passos: 1. Substituir a solução particular: Primeiro, substituímos \( y(x) = e^x \) na equação para verificar se é uma solução. 2. Calcular \( y'(x) \): A derivada de \( y(x) = e^x \) é \( y'(x) = e^x \). 3. Substituir na equação: \[ e^x e^{-x} + (e^x)^2 - 2e^x e^x = 1 - e^{2x} \] Simplificando: \[ 1 + e^{2x} - 2e^{2x} = 1 - e^{2x} \] Isso se torna: \[ 1 - e^{2x} = 1 - e^{2x} \] O que é verdadeiro. 4. Encontrar a solução geral: Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação. Para isso, podemos usar o método de variação de parâmetros ou outro método adequado, dependendo da forma da equação. 5. Solução geral: A solução geral da equação diferencial pode ser expressa como: \[ y(x) = y_{part}(x) + y_h(x) \] onde \( y_h(x) \) é a solução da equação homogênea associada. 6. Resolver a homogênea: A equação homogênea é: \[ y'(x)e^{-x} + y^2(x) - 2y(x)e^x = 0 \] A solução dessa equação pode ser mais complexa e pode exigir técnicas específicas. 7. Combinar as soluções: Finalmente, a solução completa será a soma da solução particular e da solução homogênea. Se precisar de mais detalhes sobre como resolver a parte homogênea ou qualquer outro passo, é só avisar!