Resolva o seguinte PVI: y′ = π xy + x2, y(1) = 0.

Para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por \( y' = \pi xy + x^2 \) com a condição \( y(1) = 0 \), podemos usar o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante. Neste caso, vamos usar o método do fator integrante. 1. Identificar a equação: A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = -\pi x \) e \( Q(x) = x^2 \). 2. Encontrar o fator integrante: O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\pi x \, dx} = e^{-\frac{\pi x^2}{2}}. \] 3. Multiplicar a equação pelo fator integrante: \[ e^{-\frac{\pi x^2}{2}} y' - \pi x e^{-\frac{\pi x^2}{2}} y = x^2 e^{-\frac{\pi x^2}{2}}. \] 4. Reescrever a equação: A equação pode ser reescrita como: \[ \frac{d}{dx} \left( e^{-\frac{\pi x^2}{2}} y \right) = x^2 e^{-\frac{\pi x^2}{2}}. \] 5. Integrar ambos os lados: \[ e^{-\frac{\pi x^2}{2}} y = \int x^2 e^{-\frac{\pi x^2}{2}} \, dx + C. \] A integral à direita pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais. 6. Resolver a integral: A integral \( \int x^2 e^{-\frac{\pi x^2}{2}} \, dx \) pode ser complexa, mas você pode usar métodos numéricos ou tabelas para encontrar uma solução. 7. Aplicar a condição inicial: Após encontrar a solução geral, aplique a condição \( y(1) = 0 \) para encontrar a constante \( C \). 8. Encontrar a solução particular: Com \( C \) determinado, você terá a solução particular do PVI. Se precisar de mais detalhes sobre a resolução da integral ou qualquer outro passo, é só avisar!