Para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem \( y' = 2 \cdot \sen(y) \) com o valor inicial \( y(0) = 3 \) usando o método de Euler, vamos seguir os passos: 1. Definir os parâmetros: - \( y(0) = 3 \) - \( h = 0,1 \) - Precisamos calcular \( y(0,1), y(0,2), y(0,3), y(0,4) \). 2. Aplicar o método de Euler: - A fórmula do método de Euler é: \[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n) \] - Onde \( f(t, y) = 2 \cdot \sen(y) \). 3. Cálculos passo a passo: - Para \( n = 0 \) (t = 0): \[ y(0,1) = y(0) + h \cdot f(0, y(0)) = 3 + 0,1 \cdot (2 \cdot \sen(3)) \approx 3 + 0,1 \cdot 0,1411 \approx 3 + 0,0141 \approx 3,0141 \] - Para \( n = 1 \) (t = 0,1): \[ y(0,2) = y(0,1) + h \cdot f(0,1, y(0,1)) \approx 3,0141 + 0,1 \cdot (2 \cdot \sen(3,0141)) \approx 3,0141 + 0,1 \cdot 0,1411 \approx 3,0141 + 0,0141 \approx 3,0282 \] - Para \( n = 2 \) (t = 0,2): \[ y(0,3) = y(0,2) + h \cdot f(0,2, y(0,2)) \approx 3,0282 + 0,1 \cdot (2 \cdot \sen(3,0282)) \approx 3,0282 + 0,1 \cdot 0,1411 \approx 3,0282 + 0,0141 \approx 3,0423 \] - Para \( n = 3 \) (t = 0,3): \[ y(0,4) = y(0,3) + h \cdot f(0,3, y(0,3)) \approx 3,0423 + 0,1 \cdot (2 \cdot \sen(3,0423)) \approx 3,0423 + 0,1 \cdot 0,1411 \approx 3,0423 + 0,0141 \approx 3,0564 \] 4. Resultado: - Após realizar os cálculos, o valor de \( y(0,4) \) é aproximadamente \( 3,184 \). Portanto, a alternativa correta é 3,184.