Questão 2 | CALCULO VETORIAL E EDO
Código da questão: 268918
A simplificação de equações diferenciais é um processo que facilita a resolução, pois a redução da equação a uma outra equivalente e simplificada torna o processo mais simples e intuitivo, evitando cálculos excessivos. Para tanto, em algumas simplificações, pode ser necessário o uso das técnicas de produtos notáveis e fatoração.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação: (1+x)dy – ydx = 0, calcule y(x).
(dica: dividir todos membros por (1+x)).
Avalie as afirmativas a seguir e selecione a que demonstra o resultado correto da integral.
A
O resultado da integral é y = - ec(1+x).
B
O resultado da integral é y = ex+1 (e+x).
C
O resultado da integral é y = ± e(1+x).
D
O resultado da integral é y = ± ec(1+x).
E
O resultado da integral é y = ± ex(1+x).
Respostas
Ed 
semana passada
Para resolver a equação diferencial dada \((1+x)dy - ydx = 0\), vamos seguir os passos sugeridos. 1. Dividir todos os membros por \((1+x)\): \[ dy - \frac{y}{1+x}dx = 0 \] Isso pode ser reescrito como: \[ dy = \frac{y}{1+x}dx \] 2. Separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{1+x} \] 3. Integrar ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{1+x} \] Resultando em: \[ \ln|y| = \ln|1+x| + C \] 4. Aplicar a exponenciação: \[ |y| = e^{C} |1+x| \] Podemos substituir \(e^{C}\) por uma constante \(k\), então: \[ y = k(1+x) \] 5. Considerando a constante \(k\), temos: \[ y = \pm e^{C}(1+x) \] Portanto, a resposta correta é a alternativa D: "O resultado da integral é \(y = \pm ec(1+x)\)".
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