Vamos resolver a equação diferencial dada: \((1+x)dy - ydx = 0\). Primeiro, vamos dividir todos os membros por \((1+x)\): \[ dy - \frac{y}{1+x}dx = 0 \] Agora, podemos reescrever isso como: \[ dy = \frac{y}{1+x}dx \] Em seguida, separando as variáveis, temos: \[ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{1+x} \] Agora, integramos ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{1+x} \] Isso resulta em: \[ \ln |y| = \ln |1+x| + C \] Elevando ambos os lados à base \(e\): \[ |y| = e^{C} |1+x| \] Podemos substituir \(e^{C}\) por uma constante \(k\), então temos: \[ y = k(1+x) \] Como \(k\) pode ser positivo ou negativo, podemos escrever: \[ y = \pm e^{C}(1+x) \] Assim, a forma mais simplificada é: \[ y = \pm e(1+x) \] Agora, analisando as alternativas: A) O resultado da integral é \(y = ± ec(1+x)\) B) O resultado da integral é \(y = e^{x+1} (e+x)\) C) O resultado da integral é \(y = ± e(1+x)\) A alternativa correta é a C: \(y = ± e(1+x)\).