determine o volume do sólido decrevolução, gerado pela rotação da região R em torno do eixo x, delimitada pela curvas y=x2 e y= √x e faça o gráfico.

Para determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região \( R \) em torno do eixo \( x \), delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = \sqrt{x} \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções: \[ x^2 = \sqrt{x} \] Elevando ao quadrado: \[ x^4 = x \] Isso nos dá: \[ x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0 \] Portanto, \( x = 0 \) e \( x = 1 \) (as raízes de \( x^3 - 1 = 0 \)). 2. Determinar o volume usando o método dos discos: O volume \( V \) é dado pela fórmula: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \, dx \] Onde \( f(x) = \sqrt{x} \) e \( g(x) = x^2 \), e os limites de integração são de \( 0 \) a \( 1 \). Assim, temos: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left((\sqrt{x})^2 - (x^2)^2\right) \, dx \] Simplificando: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x - x^4) \, dx \] 3. Calcular a integral: \[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} \] Avaliando nos limites: \[ V = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \right) = \pi \left( \frac{3}{10} \right) \] Portanto: \[ V = \frac{3\pi}{10} \] 4. Gráfico: Para o gráfico, você pode desenhar as curvas \( y = x^2 \) e \( y = \sqrt{x} \) no intervalo de \( x = 0 \) a \( x = 1 \) para visualizar a região \( R \) que está sendo rotacionada. Assim, o volume do sólido de revolução gerado é \( \frac{3\pi}{10} \).