Para determinar o intervalo em que a equação diferencial \( y'' + 4x^2y' + 4y = \cos(x) \) tem solução única para um problema de valor inicial, precisamos analisar a equação. 1. Identificação da equação: A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. 2. Condições de existência e unicidade: Para garantir a existência e unicidade da solução, podemos usar o Teorema de Picard-Lindelöf, que afirma que se a função e suas derivadas são contínuas em um intervalo, então existe uma solução única. 3. Análise dos coeficientes: Os coeficientes da equação \( 4x^2 \) e \( 4 \) são contínuos para todos os valores de \( x \). A função \( \cos(x) \) também é contínua. 4. Intervalo: Portanto, a equação é bem comportada em qualquer intervalo real. Assim, podemos garantir que existe uma solução única em qualquer intervalo \( (a, b) \) onde \( a \) e \( b \) são números reais. Em resumo, a equação diferencial tem solução única em qualquer intervalo \( (a, b) \) em \( \mathbb{R} \).