Grátis: O número de Euler possui diversas aplicações em ciências, como a Biologia, a Química e a Física, por exemplo. Com base nessas informações e em seus... – Questões Respondidas

Cálculo

Colégio Objetivo

O número de Euler possui diversas aplicações em ciências, como a Biologia, a Química e a Física, por exemplo.
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre a relação entre limites exponenciais e o número de Euler, analise as afirmativas a seguir, com relação à veracidade das equivalências, e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) lim(1+1/x)^x = 1/e.
II. ( ) O número de Euler é maior que o número racional 2,72.
III. ( ) lim(1+1/x)^7x, com x tendendo ao infinito vale e^7.
IV. ( ) lim(1 + h)^(1/h) = e com h tendendo a zero.
1. V, F, F, F.
2. V, F, V, V.
3. F, F, V, F.
4. V, V, V, F.
5. Correta: F, F, V, V. Resposta correta

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Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre o número de Euler e suas propriedades: I. ( ) lim(1+1/x)^x = 1/e. É falsa. O limite correto é lim(1+1/x)^x = e, não 1/e. II. ( ) O número de Euler é maior que o número racional 2,72. É verdadeira. O número de Euler (e) é aproximadamente 2,71828, que é maior que 2,72. III. ( ) lim(1+1/x)^7x, com x tendendo ao infinito vale e^7. É verdadeira. O limite pode ser reescrito como (lim(1+1/x)^x)^(7) = e^7. IV. ( ) lim(1 + h)^(1/h) = e com h tendendo a zero. É verdadeira. Este é um dos limites fundamentais que define o número de Euler. Agora, organizando as respostas: I - F II - V III - V IV - V Portanto, a sequência correta é: F, V, V, V. A alternativa que apresenta a sequência correta é a 4: V, V, V, F. Assim, a resposta correta é a alternativa 4.

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A independência algébrica de algumas funções delimita algumas categorias de funções. Saber reconhecer quando uma função é ou não algébrica auxilia em algumas manipulações matemáticas, tal como a derivação.
Tendo em vista os conhecimentos acerca das funções algébricas, analise as afirmativas a seguir:
I. As funções algébricas são aquelas definidas apenas pelas operações básicas da álgebra.
II. Existem funções explícitas não algébricas.
III. As funções transcendentes são funções algébricas.
IV. f(x) = ln(x) não é uma função algébrica.
1. I, II e IV. Resposta correta
2. II e III.
3. I e IV.
4. I, III e IV.
5. Incorreta: II, III e IV.

Compreender com quais categorias de funções se está lidando em um determinado problema pode auxiliar no encaminhamento para a solução. É fundamental compreender as distinções e semelhanças das funções transcendentes, explícitas e implícitas.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções transcendentes, explícitas e implícitas, associe as funções apresentadas a seguir com suas respectivas categorias:
1) y= cos(x).
2) x²+y² = 25.
3) y= 2.
4) lnx + 2y = 0.
Função transcendente definida explicitamente.
Função transcendente definida implicitamente.
Função algébrica definida implicitamente.
Função algébrica definida explicitamente.

Existem diversas interpretações para as derivadas, tanto do ponto de vista geométrico quanto algébrico. As funções polinomiais são as mais simples para efetuar a derivação. Saber calculá-las é fundamental para a apreensão dos conceitos do Cálculo diferencial e integral.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de f(x) = x+2 é 1.
II. Pode-se calcular a derivada de f(x) = 2x+2/x²-3x pela regra do quociente.
III. O sinal positivo da derivada indica sua relação com um crescimento, o contrário indicaria um decrescimento.
IV. A derivada de uma função composta é calculada pela regra do tombo.
1. I e II.
2. II, III e IV.
3. Correta: I, II e III. Resposta correta
4. I e III.
5. II e III.

A diferenciação implícita é um método de derivação para certos tipos de funções, isto é, as que não se consegue isolar o valor de uma de suas variáveis. É necessário conhecer as aplicações e propriedades desse tipo de derivação.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca dessas derivadas, analise as afirmativas a seguir:
I. Quando se deriva implicitamente, deve-se derivar ambos os lados da igualdade.
II. Ao derivar implicitamente, utiliza-se a regra da cadeia.
III. Derivar implicitamente não exclui a necessidade de utilizar outros métodos de derivação.
IV. A derivação implícita sempre resultará em valores positivos.
1. II e III.
2. II, III e IV.
3. III e IV.
4. Correta: I, II e III. Resposta correta
5. I e II.

Tendo o conhecimento de funções compostas, sabemos que o domínio de algumas funções são a imagem de outras, ou seja, uma função composta H(x) pode ser dada por H(x) = f(g(x)). Muitas funções desse tipo são transcendentes, o que significa que não possuem formulação algébrica.
Dado que se f(x) = sen(x), f’(x) = cos(x), e considerando seus conhecimentos sobre a regra da cadeia para derivação de funções compostas, analise as afirmativas a seguir.
I. A derivada de f(x) = (x+2)² é 2x + 4.
II. A função H(x) = f(g(x)), onde f(x) = sen(x) e g(x) = x²+x, tem derivada H’(x) = (2x+1)*cos (x²+x).
III. Para derivar funções transcendentes basta aplicar as regras para derivadas de funções polinomiais.
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a cos²(x)sen(x).
1. I, II e IV.
2. I e III.
3. Correta: I e II. Resposta correta
4. I, III e IV.
5. II, e IV.

Os logaritmos auxiliam, entre outras coisas, na resolução de equações exponenciais de uma maneira geral. Compreender algumas equivalências logarítmicas é extremamente útil para o processo de manipulação desses elementos matemáticos a fim de resolver tais equações.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as manipulações logarítmicas possíveis, analise as afirmativas a seguir com relação à veracidade das equivalências e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) log (27) = 3 log (3).
II. ( ) log(12) = log (3) + log(4).
III. ( ) 2log(2) = log(4).
IV. ( ) log(10) = 2log(100) – log(10).
1. F, V, F, V.
2. V, V, F, F.
3. Correta: V, V, V, F. Resposta correta
4. F, F, V, V.
5. V, F, V, F.

As manipulações algébricas são extremamente importantes para a resolução de problemas matemáticos. Mudanças de perspectivas são necessárias na matemática, muitas vezes aplicadas para testar abordagens diferentes sobre o mesmo problema.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções implícitas e explícitas, e a possibilidade de reescrita entre elas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) y=2x+1 →y-2x=1. Forma explicita → forma implícita.
II. ( ) ln(x) + x = y→ ln(x) + x – y = 0. Forma explicita → forma implícita.
III. ( ) x² + y³ = 0 → y³ =-x². Forma implícita → forma explícita.
IV. ( ) y-x=3 → y= 3+x. Forma implícita → forma explícita.
1. V, F, V, F.
2. F, F, V, V.
3. Correta: V, V, F, V. Resposta correta
4. V, V, V, F.
5. V, V, F, F.

O estudo dos diferentes tipos de funções é fundamental para um estudante de exatas. Saber suas particularidades, definições e significados multifacetados é como aprender palavras para um novo idioma, que no caso é o da matemática.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções implícitas e explícitas, analise as afirmativas a seguir.
I. As funções explicitas são meramente algébricas.
II. Existem funções implícitas que podem ser reescritas como funções explícitas.
III. Uma função implícita pode ser representada por mais de uma função explícita.
IV. está na forma de uma função implícita.
1. II e IV.
2. I, II e IV.
3. III e IV.
4. I, III e IV.
5. Correta: II, III e IV. Resposta correta