Qual e a derivada de f(x)=ln(1+x^2)? a) 2(1+x^2)^{-1} b) 1+x^2/x c) 1+x^2 d) 1+x^2/(2x)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(1 + x^2) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = 1 + x^2 \). 1. Primeiro, derivamos \( u = 1 + x^2 \): \[ u' = 2x \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 2(1+x^2)^{-1} \) - Esta é uma forma equivalente a \( \frac{2}{1+x^2} \), mas não é a derivada correta. b) \( \frac{1+x^2}{x} \) - Esta não é a forma correta da derivada. c) \( 1+x^2 \) - Esta não é a derivada correta. d) \( \frac{1+x^2}{2x} \) - Esta não é a forma correta da derivada. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à derivada correta \( \frac{2x}{1 + x^2} \). Portanto, parece que não há uma resposta correta entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar as alternativas ou verificar se há um erro na formulação da pergunta.