A reta px+y+r= 0, per reais, é tangente a função f(x) = 13ln(x² + 4x +8), no ponto de abscissa igual a Determine o valor de p.

Para determinar o valor de \( p \) na reta \( px + y + r = 0 \) que é tangente à função \( f(x) = 13\ln(x^2 + 4x + 8) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada da função \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[13\ln(x^2 + 4x + 8)] = 13 \cdot \frac{1}{x^2 + 4x + 8} \cdot (2x + 4) \] 2. Calcular a derivada em um ponto específico: Vamos determinar o ponto de tangência. Suponha que a abscissa do ponto de tangência seja \( a \). Então, a inclinação da reta tangente em \( x = a \) será \( f'(a) \). 3. Encontrar a equação da reta tangente: A equação da reta tangente no ponto \( (a, f(a)) \) é dada por: \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \] 4. Igualar a equação da reta tangente à forma da reta: A reta \( px + y + r = 0 \) pode ser reescrita como \( y = -px - r \). Igualando as duas expressões para \( y \): \[ -px - r = f(a) + f'(a)(x - a) \] 5. Comparar os coeficientes: A partir da comparação dos coeficientes de \( x \) e do termo constante, podemos encontrar o valor de \( p \). Para um cálculo mais específico, você precisaria determinar o ponto \( a \) onde a reta é tangente. Se você tiver esse valor, podemos prosseguir com os cálculos. Se não, você pode escolher um valor para \( a \) e seguir os passos acima.