determine o valor da integral sendo s a area definida pelas retas x + y = 0, x = y e 0 < x < 3

Para determinar o valor da integral que representa a área definida pelas retas \(x + y = 0\), \(x = y\) e \(0 < x < 3\), vamos seguir os passos: 1. Identificar as interseções das retas: - A reta \(x + y = 0\) pode ser reescrita como \(y = -x\). - A reta \(x = y\) é a linha onde \(x\) é igual a \(y\). As interseções ocorrem quando: - \(x + y = 0\) e \(x = y\): \[ x + x = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0 \implies y = 0 \] - Para \(x = 3\): \[ y = -3 \quad \text{(ponto de interseção com a reta \(x + y = 0\))} \] 2. Determinar os limites de integração: - A área está delimitada entre \(x = 0\) e \(x = 3\). 3. Encontrar a função que representa a área: - A área entre as duas retas de \(x = 0\) até \(x = 3\) é dada pela diferença entre as funções: \[ A = \int_{0}^{3} (y_{superior} - y_{inferior}) \, dx \] - Aqui, \(y_{superior} = -x\) e \(y_{inferior} = x\). 4. Calcular a integral: \[ A = \int_{0}^{3} (-x - x) \, dx = \int_{0}^{3} -2x \, dx \] \[ A = -2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} = -2 \left[ \frac{3^2}{2} - 0 \right] = -2 \left[ \frac{9}{2} \right] = -9 \] 5. Valor absoluto da área: Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto: \[ A = 9 \] Portanto, o valor da integral que representa a área definida é \(9\).