Para resolver a integral dupla \(\iint_S (x + 2y) \, dx \, dy\) sobre a região \(S\) definida pelas retas \(x + y - 4 = 0\) e \(y = x\), precisamos primeiro determinar os limites de integração. 1. Identificar a região \(S\): - A reta \(x + y - 4 = 0\) pode ser reescrita como \(y = 4 - x\). - A reta \(y = x\) é uma linha diagonal. 2. Encontrar os pontos de interseção: - Igualando \(4 - x = x\): \[ 4 = 2x \implies x = 2 \implies y = 2. \] - Os pontos de interseção são \((0, 4)\), \((2, 2)\) e \((3, 0)\). 3. Definir os limites de integração: - Para \(x\) variando de \(0\) a \(3\): - Para \(0 \leq x \leq 2\), \(y\) varia de \(x\) até \(4 - x\). - Para \(2 < x \leq 3\), \(y\) varia de \(x\) até \(0\). 4. Escrever a integral: \[ \int_0^2 \int_x^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx + \int_2^3 \int_x^0 (x + 2y) \, dy \, dx. \] 5. Calcular a integral: - Para a primeira parte: \[ \int_0^2 \left[ xy + y^2 \right]_x^{4-x} \, dx = \int_0^2 \left[ x(4-x) + (4-x)^2 - (x^2 + x^2) \right] \, dx. \] - Para a segunda parte, a integral será negativa, então devemos inverter os limites. 6. Resolver as integrais: - Calcule cada parte e some os resultados. Após realizar todos os cálculos, você encontrará o valor da integral. Se precisar de ajuda com os cálculos específicos, é só avisar!