Considere a função f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end fraction O domínio ????(????) e a imag

Question

Considere a função f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end fraction O domínio ????(????) e a imagem ????????(????) da função ???? são dados, respectivamente, por: a. D left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers minus left curly bracket negative 1 right curly bracket text e end text Im invisible function application left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers minus left curly bracket 0 right curly bracket b. D left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers minus left curly bracket negative 1 right curly bracket text e end text Im invisible function application left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers minus left curly bracket negative 1 right curly bracket c. D left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers minus left curly bracket 0 right curly bracket text e end text Im invisible function application left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers minus left curly bracket negative 1 right curly bracket d. D left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers minus left curly bracket 0 right curly bracket text e end text Im invisible function application left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers minus left curly bracket 0 right curly bracket e. D left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers text e end text I m left parenthesis f right parenthesis equals straight real numbers

Ed · Answer

Vamos analisar a função $ f(x) = \frac{1}{x + 1} $.

1. **Domínio $ D(f) $**: O domínio da função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. A função não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando $ x + 1 = 0 $ ou $ x = -1 $. Portanto, o domínio é:
   $$
   D(f) = \mathbb{R} - \{-1\}
   $$

2. **Imagem $ Im(f) $**: Para encontrar a imagem, precisamos analisar os valores que $ f(x) $ pode assumir. A função $ f(x) $ se aproxima de 0, mas nunca atinge esse valor, pois $ \frac{1}{x + 1} $ nunca será igual a 0. Além disso, a função pode assumir todos os outros valores reais, exceto 0. Portanto, a imagem é:
   $$
   Im(f) = \mathbb{R} - \{0\}
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) $ D(f) = \mathbb{R} - \{-1\} $ e $ Im(f) = \mathbb{R} - \{0\} $ - **Correta**.

b) $ D(f) = \mathbb{R} - \{-1\} $ e $ Im(f) = \mathbb{R} - \{-1\} $ - Incorreta.

c) $ D(f) = \mathbb{R} - \{0\} $ e $ Im(f) = \mathbb{R} - \{-1\} $ - Incorreta.

d) $ D(f) = \mathbb{R} - \{0\} $ e $ Im(f) = \mathbb{R} - \{0\} $ - Incorreta.

e) $ D(f) = \mathbb{R} $ e $ Im(f) = \mathbb{R} $ - Incorreta.

Portanto, a alternativa correta é a) $ D(f) = \mathbb{R} - \{-1\} $ e $ Im(f) = \mathbb{R} - \{0\} $.

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