Para que um sistema de equações lineares seja indeterminado, é necessário que as equações sejam linearmente dependentes, ou seja, uma equação pode ser expressa como uma combinação linear das outras. Vamos analisar as equações do sistema: 1) \(2x - 5y + 2z = 0\) 2) \(x + y + z = 0\) 3) \(2x + 0y + kz = 0\) Para que o sistema seja indeterminado, a terceira equação deve ser uma combinação linear das duas primeiras. Vamos tentar expressar a terceira equação em termos das outras duas. Se multiplicarmos a segunda equação por 2, obtemos: \[2(x + y + z) = 2(0) \Rightarrow 2x + 2y + 2z = 0\] Agora, queremos que a terceira equação \(2x + kz = 0\) seja uma combinação das duas primeiras. Para isso, podemos igualar os coeficientes de \(z\): \[k = 2y\] Para que o sistema seja indeterminado, precisamos que a equação 3 seja uma combinação linear das outras duas. Assim, podemos substituir \(y\) por um valor que satisfaça a relação. Ao analisar as opções: - Se \(k = 2\), a equação 3 se torna \(2x + 2z = 0\), que é uma combinação linear das outras. - Se \(k = 0\), a equação 3 se torna \(2x = 0\), que não é indeterminada. - Se \(k = 1\), a equação 3 se torna \(2x + z = 0\), que também não é indeterminada. - Se \(k = -1\), a equação 3 se torna \(2x - z = 0\), que não é indeterminada. Portanto, a única opção que torna o sistema indeterminado é: Opção A: k = 2.