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Álgebra Linear

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O que acontece quando uma matriz A tem autovalor zero?
a) A matriz A e invertivel.
b) A matriz A tem um determinante igual a zero.
c) A matriz A e diagonal.
d) A matriz A e uma matriz identidade.
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Autovetores e Autovalores
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Autovetores e Autovalores

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Quando uma matriz \( A \) tem um autovalor igual a zero, isso implica que a matriz não é invertível. Uma das propriedades fundamentais das matrizes é que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. Portanto, se um autovalor é zero, o determinante da matriz também será zero. Vamos analisar as alternativas: a) A matriz A é invertível. - Incorreta, pois um autovalor zero indica que a matriz não é invertível. b) A matriz A tem um determinante igual a zero. - Correta, pois um autovalor zero implica que o determinante é zero. c) A matriz A é diagonal. - Incorreta, pois uma matriz pode ter autovalor zero e não ser diagonal. d) A matriz A é uma matriz identidade. - Incorreta, pois a matriz identidade tem todos os autovalores iguais a 1. Portanto, a alternativa correta é: b) A matriz A tem um determinante igual a zero.

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O que e um autovetor de uma matriz A?
a) E um vetor que, quando multiplicado pela matriz A, resulta em um vetor com a mesma direcao e um novo comprimento.
b) E um vetor ortogonal a matriz A.
c) E um vetor cuja multiplicacao pela matriz A resulta em zero.
d) E um vetor que nao pode ser usado em transformacoes lineares.

O que caracteriza um autovalor de uma matriz?
a) E o valor que representa o somatorio de todos os elementos da matriz.
b) E o valor que escala o autovetor quando multiplicado pela matriz.
c) E a soma dos autovetores da matriz.
d) E o valor que representa a inversa da matriz.

Qual a condicao que deve ser satisfeita para um vetor v ser um autovetor de uma matriz A?
a) A multiplicacao de A por v deve resultar em zero.
b) A multiplicacao de A por v deve resultar em um multiplo escalar de v.
c) O vetor v deve ser ortogonal a todos os outros vetores de A.
d) O vetor v deve ser perpendicular a qualquer vetor da matriz.

Em qual tipo de matriz e mais comum encontrar autovetores?
a) Somente em matrizes simetricas.
b) Em matrizes diagonais.
c) Em qualquer tipo de matriz.
d) Em matrizes com todos os elementos iguais.

Se uma matriz A possui um autovetor v e um autovalor , qual e a equacao que representa essa relacao?
a) A * v = * v
b) A * v = 0
c) A * v = v +
d) A * v = v * 2

Qual e o objetivo principal de se calcular os autovetores e autovalores de uma matriz?
a) Determinar a inversa de uma matriz.
b) Simplificar transformacoes lineares e resolver sistemas diferenciais.
c) Obter os elementos diagonais de uma matriz.
d) Encontrar o determinante de uma matriz.

O que significa que dois autovetores sao ortogonais?
a) Eles possuem a mesma direcao.
b) Eles sao independentes linearmente.
c) O produto escalar entre eles e igual a zero.
d) Eles tem o mesmo autovalor.

Qual e o criterio para uma matriz ser diagonalizavel?
a) A matriz deve ter um numero suficiente de autovetores linearmente independentes.
b) A matriz deve ser simetrica.
c) A matriz deve ser inversivel.
d) A matriz deve ser quadrada.

Em uma matriz simetrica, qual e a relacao entre seus autovetores?
a) Sao sempre ortogonais entre si.
b) Sao sempre lineares dependentes.
c) Sao sempre colineares.
d) Sao sempre iguais.

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