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como encontro a inversa da função: f(x)=x^5 + x^3 + x e da g(x)= 3 + x + e^x ?

Stewart
Cálculo IUFPE

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Há mais de um mês

Para encontrarmos a função iversa das funções dadas, basta trocarmos Y e X de lugar, ou seja, Colocarmos X em função de Y. Para a primeira função temos:

\(\begin{align} & f(x)={{x}^{5}}+{{x}^{3}}+x \\ & y={{x}^{5}}+{{x}^{3}}+x \\ & {{f}^{-1}}={{y}^{5}}+{{y}^{3}}+y \\ & x={{y}^{5}}+{{y}^{3}}+y \\ & x=y({{y}^{4}}+{{y}^{2}}+1) \\ & \frac{x}{y}={{y}^{4}}+{{y}^{2}}+1 \\ & x{{y}^{-1}}-{{y}^{2}}-{{y}^{4}}=1 \\ & {{y}^{-1}}(x-{{y}^{3}}-{{y}^{5}})=1 \\ & {{y}^{-1}}=\frac{1}{(x-{{y}^{3}}-{{y}^{5}})} \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{{y^{ - 1}} = \frac{1}{{\left( {x - {y^3} - {y^5}} \right)}}}\)

Para a segunda equação temos:

\(\begin{align} & g(x)=3+x+{{e}^{x}} \\ & x=3+y+{{e}^{y}} \\ & x-3=y+{{e}^{y}} \\ & \ln (x-3)=\ln y+\ln \left( {{e}^{y}} \right) \\ & \ln (x-3)=\ln y+y \\ & y=\ln (x-3)-\ln y \\ & {{y}^{-1}}=\ln \left( \frac{x-3}{y} \right) \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{{y^{ - 1}} = \ln \left( {\frac{{x - 3}}{y}} \right)}\)

Para encontrarmos a função iversa das funções dadas, basta trocarmos Y e X de lugar, ou seja, Colocarmos X em função de Y. Para a primeira função temos:

\(\begin{align} & f(x)={{x}^{5}}+{{x}^{3}}+x \\ & y={{x}^{5}}+{{x}^{3}}+x \\ & {{f}^{-1}}={{y}^{5}}+{{y}^{3}}+y \\ & x={{y}^{5}}+{{y}^{3}}+y \\ & x=y({{y}^{4}}+{{y}^{2}}+1) \\ & \frac{x}{y}={{y}^{4}}+{{y}^{2}}+1 \\ & x{{y}^{-1}}-{{y}^{2}}-{{y}^{4}}=1 \\ & {{y}^{-1}}(x-{{y}^{3}}-{{y}^{5}})=1 \\ & {{y}^{-1}}=\frac{1}{(x-{{y}^{3}}-{{y}^{5}})} \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{{y^{ - 1}} = \frac{1}{{\left( {x - {y^3} - {y^5}} \right)}}}\)

Para a segunda equação temos:

\(\begin{align} & g(x)=3+x+{{e}^{x}} \\ & x=3+y+{{e}^{y}} \\ & x-3=y+{{e}^{y}} \\ & \ln (x-3)=\ln y+\ln \left( {{e}^{y}} \right) \\ & \ln (x-3)=\ln y+y \\ & y=\ln (x-3)-\ln y \\ & {{y}^{-1}}=\ln \left( \frac{x-3}{y} \right) \\ \end{align}\ \)

\(\boxed{{y^{ - 1}} = \ln \left( {\frac{{x - 3}}{y}} \right)}\)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas