7 Tensão e Deformação

Prévia do material em texto

Mecânica dos Sólidos
7. Tensão e Deformação
Equilíbrio de um Corpo Deformável
2
Cargas externas:
1. Forças de superfície:
• Causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro.
• São distribuídas pela área de contato entre os corpos.
• Se a área de contato for pequena, podem ser idealizadas como uma
única força concentrada (pontual).
• Se a carga for aplicada ao longo de uma área estreita, podem ser
idealizadas como uma carga distribuída linear.
Equilíbrio de um Corpo Deformável
3
Cargas externas:
2. Forças de corpo (campo):
• Desenvolvidas quando um corpo exerce força sobre outro, sem contato
físico direto entre eles.
• Como exemplo temos as forças devido aos efeitos da gravitação ou
campo eletromagnético.
• Apesar de atuarem em cada partícula de um corpo, são normalmente
representadas por uma única força concentrada, como a força peso,
por exemplo.
Equilíbrio de um Corpo Deformável
4
Cargas externas:
Equilíbrio de um Corpo Deformável
5
Reações de apoio:
• Forças de superfície desenvolvidas nos apoios ou pontos de contato 
entre corpos. Para sistemas submetidos a forças coplanares os apoios 
mais comuns são:
Equilíbrio de um Corpo Deformável
6
Equações de equilíbrio
• O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças e um equilíbrio de
momentos.
• Se estipularmos um sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O,
• A melhor maneira de avaliar essas forças é desenhar o diagrama de corpo
livre do corpo (DCL).
(1.1)
(1.2)
0M 0F   O
0 , 0 , 0
0 , 0 , 0




zyx
zyx
MMM
FFF
Equilíbrio de um Corpo Deformável
7
Equações de equilíbrio
• Na prática da engenharia, muitas vezes a carga sobre um corpo pode ser
representada como um sistema de forças coplanares. Se esse for o caso, as
condições de equilíbrio podem ser especificadas por apenas três equações:
(1.3)
0M
 0
 0






O
y
x
F
F
Equilíbrio de um Corpo Deformável
8
Cargas resultantes internas
• Aplicando o método das seções em um corpo, é possível obter as cargas
que agem em uma região específica do interior de um corpo:
Equilíbrio de um Corpo Deformável
9
Cargas resultantes internas
• Embora a distribuição exata da carga interna seja desconhecida, podemos
usar as equações de equilíbrio para relacionar as forças externas sobre o
corpo com a força resultante e o momento resultante da distribuição da
carga interna.
Equilíbrio de um Corpo Deformável
10
Cargas resultantes internas
• Em geral, há quatro tipos diferentes de cargas resultantes:
a) Força normal, N
b) Força de cisalhamento (cortante), V
c) Momento de torção ou torque, T
d) Momento fletor, M
Equilíbrio de um Corpo Deformável
11
Cargas resultantes internas
• Em geral, há quatro tipos diferentes de cargas resultantes: Força normal (N)
Força de cisalhamento ou cortante (V), Momento de torção ou Torque (T)
e Momento fletor (M).
Equilíbrio de um Corpo Deformável
12
Cargas resultantes internas
• Se o corpo for submetido a um sistema de forças coplanares, então haverá
na seção apenas componentes da força normal, força de cisalhamento e
momento fletor.
Tensão
13
• Considere que a área seccionada
de um corpo está subdividida em
pequenas áreas, de tamanho ∆A.
• À medida que reduzimos ∆A,
temos que adotar duas premissas:
o material é contínuo (distribuição
uniforme de matéria sem vazios) e
coeso (porções sem separações ou
trincas).
Tensão
14
• Uma força típica finita ∆F, porém
muita pequena, age sobre a área
∆A e pode ser substituída por suas
três componentes (∆Fx , ∆Fy e ∆Fz).
• À medida que ∆A tende a zero, ∆F
também tende a zero. Porém, em
geral o quociente entre a força e a
área tenderá a um limite finito,
denominado tensão.
• A tensão descreve a intensidade da força interna sobre um plano
específico (área) que passa por um ponto.
Tensão
15
Tensão Normal (σ)
• Intensidade da força que age perpendicularmente à ΔA.
• Se a tensão normal tracionar o elemento de área ΔA, ela será denominada
tensão de tração.
• Se a tensão normal comprimir o elemento de área ΔA, ela será denominada
tensão de compressão.
A
Fz
A
z



 0
lim (1.4)
Tensão
16
Tensão de Cisalhamento (τ)
• Intensidade da força que age tangente à ΔA.
• São usados dois índices para as componentes da tensão de cisalhamento
(τzx e τzy). O eixo z especifica a orientação da área e x e y referem-se às retas
que indicam a direção das tensões de cisalhamento.
(1.5)
A
F
A
F
y
A
zy
x
A
zx








0
0
lim
lim


Tensão
17
Estado geral de tensão
• Se o corpo for ainda mais seccionado por planos paralelos ao plano x-z e
pelo plano x-y, então podemos cortar um elemento cúbico de volume que
representa o estado de tensão que age em torno do ponto escolhido.
Tensão
18
• A figura a seguir representa as direções da tensão normal e das
componentes das tensões de cisalhamento em relação à área ΔA.
Tensão normal média em uma barra com carga axial
19
Frequentemente, elementos estruturais ou mecânicos são compridos e
delgados, ou seja, possuem o formato típico de barras e estão sujeitos a
aplicação de cargas axiais.
Tensão normal média em uma barra com carga axial
20
Para determinar a distribuição da tensão média que age na seção transversal
de uma barra com carga axial, inicialmente adotamos as seguintes hipóteses:
• A área da seção transversal da barra é constante ao longo do comprimento
da barra (barra prismática).
• O peso da barra pode ser desprezado se este for bem menor em relação a
carga aplicada.
• A deformação na barra devido à aplicação de carga é uniforme. Para que
isso seja possível, as cargas axiais são consideradas aplicadas ao longo do
eixo do centroide da seção transversal e o material é considerado
homogêneo e isotrópico.
Tensão normal média em uma barra com carga axial
21
Distribuição da tensão normal média:
Considerando as hipóteses adotadas, a
deformação da barra é resultado de uma tensão
normal constante σ.
Cada elemento de área ΔA está submetida a uma
força ∆F = σΔA. A soma dessas forças que agem
em toda a área da seção transversal deve ser
equivalente à força externa P.
Tensão normal média em uma barra com carga axial
22
Distribuição da tensão normal média:
Se fizermos ∆A → dA e ∆F → dF, temos:
නdF = න
𝐀
𝛔dA
𝐏 = 𝛔A
𝛔 =
𝐏
𝐀
onde:
σ = tensão normal média [Pa]
P = força normal interna resultante[N]
A = área da seção transversal [m²]
(1.6)
Tensão normal média em uma barra com carga axial
23
Equilíbrio:
Se consideramos o equilíbrio vertical do elemento de volume da barra,
aplicando a equação de equilíbrio de forças, temos:
𝛔 = 𝛔′
Em outras palavras, as duas componentes da
tensão normal no elemento devem ter valores
iguais, mas direções opostas , o que é
denominado tensão uniaxial.
Tensão normal média em uma barra com carga axial
24
Equilíbrio:
Dependendo do sentido de aplicação da carga axial, a barra estará sujeita à
tensão ou compressão.
Tração Compressão
Tensão normal média em uma barra com carga axial
25
Tensão normal média máxima:
Normalmente, uma barra pode estar sujeita a várias cargas externas ao
longo de seu eixo. Além disso, em alguns casos, a área da seção transversal
pode mudar.
Para esses casos, a tensão normal varia ao longo da barra e, portanto, é
necessário determinar a tensão normal média máxima.
Para fazer isso, é necessário determinar as cargas normais ao longo da barra
utilizando o diagrama de força normal.
Exercícios
26
1. A barra da figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10
mm. Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é
submetida à carga mostrada.
σmed,max = 85,7 MPa
Exercícios
27
2. A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC. Se AB tiver
diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão
normal média em cada haste.
σBC = 7,86 MPa
σBA = 8,05 MPa
Exercícios28
3. O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical
de 3 kN. Determine a posição x dessa força de modo que a tensão de
compressão média no apoio liso C seja igual à tensão de tração média na
barra AB. A área de seção transversal da barra é 400 mm² e a área em C é
650 mm².
FAB = 1143 N
FAC = 1857 N
x = 124 mm
Tarefa
Tensão de cisalhamento média
29
Ao analisar o efeito da aplicação de uma força F à barra mostrada na figura,
podemos concluir que se os apoios forem rígidos e F for suficientemente
grande, o material da barra irá se deformar ao ponto de ser cortado (ou
cisalhado) ao longo dos planos identificados por AB e CD.
Tensão de cisalhamento média
30
Um diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado da barra
indica que a força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada a cada seção
para manter o segmento em equilíbrio.
A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área seccionada
que desenvolve essa força de cisalhamento é definida por:
onde:
τmed= tensão de cisalhamento média [Pa]
V = força interna de cisalhamento ou cortante [N]
A = área da seção transversal [m²]
𝛕𝐦𝐞𝐝 =
𝐕
𝐀
(1.7)
Tensão de cisalhamento média
31
Cisalhamento simples:
A junta mostrada abaixo é um exemplo de acoplamento de cisalhamento
simples normalmente denominada junta sobreposta.
Considerando que os elementos são finos e que a porca não está muito
apertada podemos desprezar o atrito e o momento.
Analisando um dos elementos em um diagrama de corpo livre, concluímos
que para o equilíbrio deve haver apenas uma força de cisalhamento V = F.
Tensão de cisalhamento média
32
Cisalhamento duplo:
Quando a junta é construída conforme a figura abaixo, duas superfícies de
cisalhamento devem ser consideradas. Esse tipo de junta é denominado
junta de dupla superposição.
Para as mesmas considerações anteriores e analisando um dos elementos
em um diagrama de corpo livre, concluímos que para o equilíbrio deve
haver apenas duas força de cisalhamento, tal que V = F/2.
Tensão de cisalhamento média
33
Equilíbrio:
Se considerarmos um elemento de volume de material e aplicarmos as
equações de equilíbrio de forças e momentos, veremos que:
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉′𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛 = 𝝉′𝒚𝒛 = 𝝉
Exercícios
34
4. A escora de madeira mostrada na figura está suspensa por um pino de aço de
10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a escora suporta
uma carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média no pino na
parede e ao longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado
como abcd.
τmed, aço = 63,7 MPa
τmed, madeira = 3,12 MPa
Tensão admissível
35
• No projeto de um elemento estrutural ou mecânico, por segurança o
engenheiro deve restringir a carga atuante a um nível menor que o
elemento pode suportar.
• Um método para se determinar um nível seguro, é o uso do fator de
segurança (FS), que é a razão entre a carga de ruptura (Frup) e a carga
admissível (Fadm).
• A carga de ruptura é determinada experimentalmente para cada tipo de
material (aço, madeira, concreto, etc.).
• O fator de segurança é selecionado com base na experiência (geralmente
normas e manuais de projeto apresentam essa informação).
Tensão admissível
36
• Matematicamente:
• Se as cargas se relacionam linearmente com a tensão interna no
elemento, então podemos expressar FS como:
onde:
σrup = tensão normal de ruptura [Pa]
σadm = tensão normal admissível [Pa]
τrup = tensão de cisalhamento de ruptura [Pa]
τadm = tensão de cisalhamento admissível [Pa]
𝐅𝐒 =
𝐅𝐫𝐮𝐩
𝐅𝐚𝐝𝐦
(1.8)
𝐅𝐒 =
σ𝐫𝐮𝐩
σ𝐚𝐝𝐦
𝐨𝐮 𝐅𝐒 =
τ𝐫𝐮𝐩
τ𝐚𝐝𝐦
(1.9)
Projeto de acoplamentos simples
37
• Adotando as premissas mencionadas anteriormente em relação ao
material e com base nas equações (1.6) e (1.7), é possível projetar um
acoplamento simples.
• Se um elemento estiver submetido a uma força normal P, a área de seção
exigida para esse elemento será:
• Por outro lado, se o elemento estiver sujeito a uma força de cisalhamento
V, a área de seção exigida será:
𝐀 =
𝐏
σ𝐚𝐝𝐦
(1.10)
𝐀 =
𝐕
τ𝐚𝐝𝐦
(1.11)
Projeto de acoplamentos simples
38
Área da seção transversal de um elemento submetido à tração
• A área da seção transversal de um elemento prismático submetido à
tração pode ser determinada com a Equação (1.10) se for considerado
que a força externa age no centroide da seção.
Projeto de acoplamentos simples
39
Área da seção transversal de um acoplamento submetido a cisalhamento
• Parafusos ou pinos quando utilizados para interligar chapas, por exemplo,
serão submetidos à uma força de cisalhamento.
• Se considerarmos que a τ está uniformemente distribuída, a área da seção
do parafuso ou pino pode ser calculada com a Equação (1.11).
Projeto de acoplamentos simples
40
Área exigida para resistir ao apoio
• A tensão normal produzida pela
compressão de uma superfície contra
outra é denominada tensão de apoio.
• Se a tensão de apoio for alta demais,
poderá deformar as superfícies.
• A área de apoio pode ser determinada pela
Equação (1.10) considerando a menor
tensão admissível entre os dois materiais
em contato.
Projeto de acoplamentos simples
41
Área exigida para resistir a cisalhamento provocado por carga axial
• Em alguns casos, elementos serão apoiados
de tal modo que uma carga axial poderá
gerar também tensão de cisalhamento.
• Um exemplo é uma haste de aço engastada
em concreto. Se uma carga axial agir na
haste, uma tensão de cisalhamento τ é
gerada na área de contato entre a haste e o
concreto. Se a haste é cilíndrica, A = πDL.
• Se a distribuição de τ for considerada
uniforme, a Equação (1.11) pode ser
utilizada para dimensionar a haste.
Deformação
42
• Deformação é a alteração na forma e no tamanho de um corpo devido
a aplicação de uma força ou devido a variação de temperatura.
• As deformações podem ser altamente visíveis ou praticamente
imperceptíveis se não forem utilizados equipamentos que façam
medições precisas.
• De modo geral, a deformação de um corpo não é uniforme em todo o
seu volume.
43
Deformação normal
• Deformação normal é o alongamento ou contração de
um segmento de reta por unidade de comprimento.
• O segmento AB contido no corpo da figura se encontra
ao longo do eixo n e tem comprimento inicial ∆s. Após
a deformação os pontos A e B são deslocados para A’ e
B’ e a reta torna-se uma curva de comprimento ∆s’.
• Nesse caso, a deformação normal média ∈med é dada
por:
Deformação
∈𝐦𝐞𝐝=
∆𝒔′ − ∆𝒔
∆𝒔
(2.1)
44
Deformação normal
• À medida que escolhemos o ponto B cada vez mais
próximo do ponto A, o comprimento da reta fica cada
vez menor, de modo tal que ∆s → 0. Desta maneira, B’
aproxima-se de A’, de forma que ∆s’→ 0.
• Por consequência, no limite, a deformação normal ∈ no
ponto A na direção n é:
• Observe que ∈ é uma quantidade adimensional. Apesar
disso é comum o uso de m/m ou mm/mm.
Deformação
∈ = 𝐥𝐢𝐦
𝐁→𝐀
∆𝐬′ − ∆𝐬
∆𝐬
(2.2)
45
Deformação por cisalhamento
• Deformação por cisalhamento é a mudança que ocorre
no ângulo entre dois segmentos de reta que eram
originalmente perpendiculares.
• Esse ângulo é representado por γ (gama) e medido em
radianos.
• Os segmentos de reta AB e AC da figura se originam
no mesmo ponto A e estão direcionadas ao longo dos
eixos perpendiculares n e t.
Deformação
46
Deformação por cisalhamento
• Após a deformação, as extremidades das retas são
deslocadas, e as próprias retas se transformam em
curvas, de modo que o ângulo entre elas em A é θ’.
• Por consequência, definimos a deformação por
cisalhamento no ponto A associada aos eixos n e t
como:
Deformação
𝛄𝐧𝐭 =
𝝅
𝟐
− 𝐥𝐢𝐦
𝐁→𝐀 𝐞𝐦 𝐧
𝐂→𝐀 𝐞𝐦 𝐭
𝛉′ (2.3)
Exercícios
47
1. Uma força que atua na empunhadura do cabo da alavanca mostrada na
figura provoca uma rotação no cabo de θ = 0,002 rad em sentido horário.
Determine a deformação normal média desenvolvida no cabo BC.
∈med = 0,00092 = 0,092%Exercícios
48
2. A chapa é deformada até a forma representada pelas linhas tracejadas
mostradas na figura. Se, nessa forma deformada, as retas horizontais na chapa
permanecem horizontais e seus comprimentos não mudarem, determine (a) a
deformação normal ao longo do lado AB e (b) a deformação por cisalhamento
média da chapa em relação aos eixos x e y.
∈med = -0,008 = -0,8%
γ = 0,0121 rad
Extra Classe
49
Livro Hibbeler – Resistência dos Materiais 7° Edição
1.34; 1.35; 1.36; 1.37; 1.40; 1.42;1.47;
1.81;1.86
2.1; 2.2; 2.3;2.25