Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de que uma lâmpada escolhida ao acaso dure mais de 100 horas, considerando os dois métodos de produção. 1. Probabilidade de escolher uma lâmpada do método A: \( P(A) = 0,7 \) 2. Probabilidade de escolher uma lâmpada do método B: \( P(B) = 0,3 \) 3. Duração das lâmpadas: - Método A: \( X_A \sim \text{Exponencial}(\lambda_A = \frac{1}{80}) \) - Método B: \( X_B \sim \text{Exponencial}(\lambda_B = \frac{1}{100}) \) 4. Cálculo da probabilidade de durar mais de 100 horas: - Para o método A: \[ P(X_A > 100) = e^{-\lambda_A \cdot 100} = e^{-\frac{1}{80} \cdot 100} = e^{-1,25} \] - Para o método B: \[ P(X_B > 100) = e^{-\lambda_B \cdot 100} = e^{-\frac{1}{100} \cdot 100} = e^{-1} \] 5. Cálculo das probabilidades: - \( P(X_A > 100) \approx e^{-1,25} \approx 0,2865 \) - \( P(X_B > 100) \approx e^{-1} \approx 0,3679 \) 6. Probabilidade total: \[ P(X > 100) = P(A) \cdot P(X_A > 100) + P(B) \cdot P(X_B > 100) \] \[ P(X > 100) = 0,7 \cdot 0,2865 + 0,3 \cdot 0,3679 \] \[ P(X > 100) \approx 0,20055 + 0,11037 \approx 0,31092 \] Portanto, a probabilidade de que uma lâmpada escolhida ao acaso dure mais de 100 horas é aproximadamente 31,09%.