A função dada para a população \( P(t) = 500 + 100 \cos(3t) \) nos diz que a população varia de acordo com a função cosseno. O valor mínimo da função cosseno ocorre quando \( \cos(3t) = -1 \). Para encontrar os meses em que a população é mínima, precisamos resolver a equação: \[ 3t = \pi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Isso implica que: \[ t = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \] Calculando para \( k = 0 \): \[ t = \frac{\pi}{3} \approx 1.05 \quad (que corresponde a janeiro) \] Calculando para \( k = 1 \): \[ t = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \approx 3.14 \quad (que corresponde a março) \] Calculando para \( k = 2 \): \[ t = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24 \quad (que corresponde a maio) \] Calculando para \( k = 3 \): \[ t = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33 \quad (que corresponde a julho) \] Assim, os meses em que a população será mínima são janeiro e julho. Portanto, a alternativa correta é: D. Janeiro e julho.