Determine O valor de k real sabendo que os vetores u(2, -2,0), σ(k,0,2) e w(2,2, 1) são coplanares.

Para determinar o valor de \( k \) que torna os vetores \( \mathbf{u} = (2, -2, 0) \), \( \mathbf{\sigma} = (k, 0, 2) \) e \( \mathbf{w} = (2, 2, 1) \) coplanares, podemos usar o determinante da matriz formada por esses vetores. Os vetores são coplanares se o determinante for igual a zero. A matriz é: \[ \begin{vmatrix} 2 & -2 & 0 \\ k & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} k & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes menores: \[ D = 2(0 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 2(k \cdot 1 - 2 \cdot 2) \] \[ D = 2(0 - 4) + 2(k - 4) \] \[ D = -8 + 2k - 8 \] \[ D = 2k - 16 \] Para que os vetores sejam coplanares, devemos ter \( D = 0 \): \[ 2k - 16 = 0 \] \[ 2k = 16 \] \[ k = 8 \] Portanto, o valor de \( k \) que torna os vetores coplanares é \( k = 8 \).