Para calcular a área delimitada pelas curvas \(2y = x\) e \(y = x^2\), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas equações para encontrar os valores de \(x\): \[ 2y = x \implies y = \frac{x}{2} \] \[ y = x^2 \] Igualando: \[ \frac{x}{2} = x^2 \implies x^2 - \frac{x}{2} = 0 \implies x(x - \frac{1}{2}) = 0 \] Portanto, os pontos de interseção são \(x = 0\) e \(x = \frac{1}{2}\). 2. Calcular a área: A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções entre os limites de integração: \[ A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{x}{2} - x^2 \right) dx \] 3. Resolver a integral: \[ A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{x}{2} - x^2 \right) dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2} dx - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^2 dx \] Calculando cada parte: \[ \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{4} \quad \text{e} \quad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] Portanto: \[ A = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} - \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \] Calculando os limites: \[ A = \left( \frac{(\frac{1}{2})^2}{4} - 0 \right) - \left( \frac{(\frac{1}{2})^3}{3} - 0 \right) = \left( \frac{1/4}{4} \right) - \left( \frac{1/8}{3} \right) \] \[ A = \frac{1}{16} - \frac{1}{24} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum, que é 48: \[ A = \frac{3}{48} - \frac{2}{48} = \frac{1}{48} \] Portanto, a área delimitada pelas curvas é \(\frac{1}{48}\). A alternativa correta é: C) \( \frac{1}{48} \).