Para verificar a conjectura "Para todo natural n maior ou igual a 1, temos que 2n² - 7n + 5 ≥ 0", precisamos analisar cada alternativa para encontrar um contra-exemplo que mostre que a conjectura é falsa. Vamos analisar as opções: a) \(2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 5 = 2 - 7 + 5 = 0\) (0 ≥ 0, verdadeiro) b) \(2 \cdot 5^2 - 7 \cdot 5 + 5 = 50 - 35 + 5 = 20\) (20 ≥ 0, verdadeiro) c) \(2 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 5 = 8 - 14 + 5 = -1\) (-1 < 0, falso) d) \(2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 7 \cdot \frac{3}{2} + 5 = \frac{9}{2} - \frac{21}{2} + 5 = -\frac{3}{2}\) (-3/2 < 0, falso) e) \(2 \cdot 3^2 - 7 \cdot 3 + 5 = 18 - 21 + 5 = 2\) (2 ≥ 0, verdadeiro) As alternativas c) e d) resultam em valores negativos, o que indica que a conjectura é falsa para esses casos. No entanto, a alternativa c) é um número natural (n = 2) e é mais simples. Portanto, a alternativa correta que serve como um contra-exemplo é: c) \(2 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 5 = -1 < 0\).